[2012高考复习]2012年高考数学压轴题19套.doc

数学压轴题集1. 已知函数，设（1）求的单调区间；（2）若以）图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；（3）若对所有的都有成立，求实数的取值范围.解：（1）.2分因为由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减. 5分（2）恒成立，7分即当时取得最大值。所以，所以.10分（3）因为，所以，令，则.12分因为当时，所以，所以，所以，所以 .16分2.已知数列中, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,.（1）求证:数列是等比数列；（2）设与的等差中项为,比较与的大小；（3）设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：当时，；当时，.求数列的前项和为.解：（1）当时, ,化简得,又由,得,解得,，也满足,而恒为正值,数列是等比数列. 分（2）的首项为1，公比为，.当时,.当时,此时.6分当时, .恒为正值 且,若,则,若,则.综上可得,当时, ；当时，若，则，若,则. 分（3） ,当时, .若,则由题设得.分若,则.综上得. 分3.A是定义在上且满足如下两个条件的函数组成的集合：对任意的，都有；存在常数L，使得对任意的，都有（1）设，证明：；（2）设，如果存在，使得，那么，这样的是唯一的；（3）设，任取令证明：给定正整数，对任意的正整数，不等式成立.证明：（1）对任意于是，2分又，所以。对任意由于，所以，4分令，则，所以.7分（2）反证法：设存在，使得，则由，得，所以,与题设矛盾，故结论成立. 10分（3）所以进一步可得，于是 .16分4已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.解：()（）,在上是减函数，又定义域和值域均为， ， 即， 解得 .(II) 在区间上是减函数，又，且，.对任意的，总有，.5已知二次函数（1）若，试判断函数零点个数；(2)若对且，试证明，使成立；(3)是否存在，使同时满足以下条件对，且；对,都有若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（1） 当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点。4分在内必有一个实根。即，使成立。10分(3)假设存在，由知抛物线的对称轴为x1，且 由知对,都有令得13分由得， 15分当时，其顶点为（1，0）满足条件，又对,都有，满足条件。存在，使同时满足条件、。16分6已知数列中，点在直线上（）计算的值；（）令，求证：数列是等比数列；（）设分别为数列的前n项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由解：（）由题意， 2分 同理 3分 （）因为 所以 5分 7分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 9分（）由（2）得， 又 所以 13分 由题意，记 则 15分故当 16分7设函数（其中常数0，且1）（）当时，解关于的方程（其中常数）；（）若函数在上的最小值是一个与无关的常数，求实数的取值范围解 （）f(x) 当x0时，f(x)3因为m2则当2m3时，方程f(x)m无解；当m3，由10x，得xlg 1分 当x0时，10x1由f(x)m得10xm，(10x)2m10x20因为m2，判别式m280，解得10x 3分因为m2，所以1所以由10x，解得xlg令1，得m3 4分所以当m3时，1，当2m3时，1，解得xlg 5分综上，当m3时，方程f(x)m有两解xlg 和xlg ； 当2m3时，方程f(x)m有两解xlg 6分(2) （）若0a1，当x0时，0f(x)3；当0x2时，f(x)ax 7分令tax，则ta2，1，g(t)t在a2，1上单调递减，所以当t1，即x0时f(x)取得最小值为3当ta2时，f(x)取得最大值为此时f(x)在(，2上的值域是(0，没有最小值 9分（）若a1，当x0时，f(x)3；当0x2时f(x)ax令tax，g(t)t，则t1，a2 若a2，g(t)t在1，a2上单调递减，所以当ta2即x2时f(x)取最小值a2，最小值与a有关； 11分 a2，g(t)t在1，上单调递减，在，a2上单调递增，13分所以当t即xloga时f(x)取最小值2，最小值与a无关 15分综上所述，当a时，f(x)在(，2上的最小值与a无关 16分9设，函数，（1）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；（2）若对任意，都有成立，试求时，的值域；（3）设 ，求的最小值解：（1），因为，二次函数图像开口向上，且恒成立，故图像始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标，当且仅当：，解得： （2）对任意都有，所以图像关于直线对称，所以，得所以为上减函数；故时，值域为 （3）令，则（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为10对于区间上有意义的两个函数与，如果对任意均有，则称与在上是接近的；否则，称与在上是非接近的现有两个函数与且，与在给定区间上都有意义，（1）求的取值范围；（2）问与在给定区间上是否为接近的？请说明理由解：（1）要使与有意义，则有要使与在给定区间上都有意义，等价于：所以（2）与在给定区间上是接近的，对于任意恒成立设，且其对称轴在区间的左边，所以，当时，与在给定区间上是接近的；当时，与在给定区间上是非接近的11.已知a0，函数f（x）=axbx2.（I）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明a2；（II）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（III）当00，b0，a2.4分（2）证明：必要性：对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1.据此可推出f（1）1，即ab1，ab1. 6分对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可得01，ab1，对任意x0，1，可以推出axbx2b（xx2）xx1，即axbx21，因为b1，a2，.10分对任意x0，1，可以推出：axbx22xbx2b（x）2+11，即axbx21，1f（x）1. 12分综上，当b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2.（3）解：因为a0，00，0b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab+1. 16分12.已知，其中是自然常数，（1）讨论时, 的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）， 当时，此时单调递减当时，此时单调递增 的极小值为（2）的极小值为1，即在上的最小值为1， ，令， 当时，在上单调递增 在（1）的条件下，（3）假设存在实数，使（）有最小值3， 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值. 当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件. 当时，在上单调递减，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3 13.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；（3）求证：解：（1）当时，的单调增区间为（0，1），减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为（0，1）；当时无单调区间（2）得，在区间上总不是单调函数，（3）令此时，所以，由（1）知在上单调递增，当时，即，对一切成立，则有，14. 设函数f(x) (其中常数a0，且a1)（1）当a10时，解关于x的方程f(x)m（其中常数m2）；（2）若函数f(x)在(，2上的最小值是一个与a无关的常数，求实数a的取值范围解： （1）f(x) 2分 当x0时，f(x)3因为m2则当2m3时，方程f(x)m无解；当m3，由10x，得xlg 4分 当x0时，10x1由f(x)m得10xm，(10x)2m10x20因为m2，判别式m280，解得10x因为m2，所以1所以由10x，解得xlg令1，得m3所以当m3时，1，当2m3时，1，解得xlg 综上，当m3时，方程f(x)m有两解xlg 和xlg ；当2m3时，方程f(x)m有两解xlg 8分(2) 法一:（）若0a1，当x0时，0f(x)3；当0x2时，f(x)ax令tax，则ta2，1，g(t)t在a2，1上单调递减，所以当t1，即x0时f(x)取得最小值为3当ta2时，f(x)取得最大值为此时f(x)在(，2上的值域是(0，没有最小值 11分（）若a1，当x0时，f(x)3；当0x2时f(x)ax令tax，g(t)t，则t1，a2 若a2，g(t)t在1，a2上单调递减，所以当ta2即x2时f(x)取最小值a2，最小值与a有关； 13分 a2，g(t)t在1，上单调递减，在，a2上单调递增，所以当t即xloga时f(x)取最小值2，最小值与a无关 15分综上所述，当a时，f(x)在(，2上的最小值与a无关 16分法二:当时，a)时，所以 ， b)时，所以 9分 当即时，对，所以 在上递增，所以 ，综合a) b)有最小值为与a有关，不符合 11分 当即时，由得，且当时，当时，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a) b) 有最小值为与a无关，符合要求13分当时，a) 时，所以 b) 时，所以 ，在上递减，所以 ，综合a) b) 有最大值为与a有关，不符合 15分综上所述，实数a的取值范围是 16分15. 已知函数 （1）若求的单调区间及的最小值； （2）若，求的单调区间； （3）试比较）的大小，并证明你的结论。解：（1） 2分故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1），4分 （2）若则在区间上是递增的；当在区间上是递减的6分若则在区间上是递增的，在区间上是递减的；当在区间（0，a）上是递减的，而在处连续；则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）；当时，的递增区间是，递减区间是（0，1）11分 （3）由（1）