高二数学选修4-22.4逆变换与逆矩阵.ppt

学习重点：学习重点：会判别逆矩阵是否存在会判别逆矩阵是否存在, ,如何求逆矩阵如何求逆矩阵; ; 学习难点：学习难点：熟练运用公式求逆矩阵熟练运用公式求逆矩阵; ; 学习目标学习目标: : 1. 1.通过图形变换通过图形变换, ,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, , 通过具体的投影变换通过具体的投影变换, ,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在; ; 2. 2.会证明逆矩阵的唯一性和会证明逆矩阵的唯一性和(AB)(AB) - -1 1 =B=B - -1 1A A- -1 1 等简单性质等简单性质; ; 3. 3.会从几何变换的角度求出会从几何变换的角度求出ABAB的逆矩阵的逆矩阵; ; 4. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律; ; 复习：复习：2.3 2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法 1. 1.矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是: : 2. 2.矩阵乘法矩阵乘法MNMN的几何意义为的几何意义为对向量连续实施的两次几对向量连续实施的两次几 何变换何变换( (先先T T N N , ,后后T TM M) )的复合变换 的复合变换. . 3. 3.矩阵乘法矩阵乘法不满足交换律不满足交换律, ,这可能是第一次遇到乘法不这可能是第一次遇到乘法不 满足交换律的情况满足交换律的情况. .此时此时, ,可以从几何变换角度进一步明可以从几何变换角度进一步明 确乘法一般不满足交换律确乘法一般不满足交换律. .而而在适当时候在适当时候, ,有些特殊几何有些特殊几何 变换变换( (如两次连续旋转变换如两次连续旋转变换) )可可满足交换律满足交换律. . 练一练练一练 创造情境创造情境 由前面学习我们知道由前面学习我们知道: :二阶矩阵对应着平面上的一个几二阶矩阵对应着平面上的一个几 何变换，它把点（何变换，它把点（x x ，y y）变换到点（）变换到点（x x ，y y ）. .反过来反过来: : 若知道变换后的结果（若知道变换后的结果（x x ，y y ）, ,能否能否“ “找到回家的路找到回家的路” ”, , 再让它变回到原来的（再让它变回到原来的（x x ，y y）呢？）呢？ 如图示：如图示： （x x ，y y）（x x ，y y ） 走过去走过去 走回去走回去 创造情境创造情境 引例：对于下列给出的变换矩阵引例：对于下列给出的变换矩阵A A，是否存在变换矩阵，是否存在变换矩阵 B B，使得连续进行两次变换（先，使得连续进行两次变换（先TATA后后TBTB）的结果与恒）的结果与恒 等变换的结果相同：等变换的结果相同： （1 1）以）以x x轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换； （2 2）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转6060 0 0 的旋转变换；的旋转变换； （3 3）横坐标不变，沿）横坐标不变，沿y y轴方向将纵坐标伸长为原来的轴方向将纵坐标伸长为原来的 2 2倍的伸压变换；倍的伸压变换； （4 4）沿）沿y y轴方向，向轴方向，向x x轴的投影变换；轴的投影变换； （5 5）纵坐标）纵坐标y y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （x , yx , y）（x+2y , yx+2y , y）的切变变换；）的切变变换； 情境分析情境分析 （1 1）对于反射变换）对于反射变换TATA，满足条件的变换即为其自身，即，满足条件的变换即为其自身，即B=AB=A； （2 2）对于旋转变换）对于旋转变换TATA，存在旋转变换，存在旋转变换TBTB，即，即B B为绕原点顺时针为绕原点顺时针 旋转旋转6060 0 0 的变换矩阵；的变换矩阵； （3 3）对于伸压变换）对于伸压变换TATA，存在伸压变换，存在伸压变换TBTB，即，即B B为使平面的保持为使平面的保持 横坐标不变，纵坐标沿横坐标不变，纵坐标沿y y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵； （4 4）对于投影变换）对于投影变换TATA，不存在满足条件的变换矩阵，不存在满足条件的变换矩阵B B。 原因：投影变换不是一一映射；原因：投影变换不是一一映射； （5 5）对于切变变换）对于切变变换TATA，存在切变变换，存在切变变换TBTB，即，即B B为使平面的保持为使平面的保持 纵坐标不变纵坐标不变, ,横坐标依纵坐标的比例减少横坐标依纵坐标的比例减少, ,且且（x , yx , y）（x-2y ,x-2y , y y）的的 变换矩阵；变换矩阵； 情境分析情境分析 由引例由引例, ,我们可以得到：有的矩阵能我们可以得到：有的矩阵能“ “找到回家的路找到回家的路” ”， 称它为原变换的称它为原变换的逆变换逆变换，而逆变换也对应着一个矩阵，而逆变换也对应着一个矩阵, , 但并非所有的二阶矩阵但并非所有的二阶矩阵A A，都存在二阶矩阵，都存在二阶矩阵B B，使得，使得 AB=BA=E.AB=BA=E. 那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？ 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或的可逆矩阵或逆阵逆阵. . 一、概念的引入一、概念的引入 在数的运算中，在数的运算中， 当数当数 时，时， 有有 其中其中 为为 的倒数，的倒数， （或称（或称 的的逆逆）；）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1 1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 , , 使得使得 数学建构数学建构 二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 1 1、 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并是可逆的，并 把矩阵把矩阵 称为称为 的逆矩阵的逆矩阵. . ,使得 例 设 注意： 要同时成立！ 现在要解决的问题：现在要解决的问题： 1. 1. 二阶方阵二阶方阵 满足什么条件时可逆满足什么条件时可逆? ? 2. 2. 可逆时可逆时，逆阵怎样求？逆阵怎样求？ 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的. . 若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有 可得可得 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的, ,即即 2 2、逆矩阵逆矩阵性质性质 证明：证明： (1) (1)、 证明 (2)、 (3)、 2 2、逆矩阵逆矩阵性质性质 例 设 解设 是 的逆矩阵, 则 目前只能利用定义，用待定系数法解决！目前只能利用定义，用待定系数法解决！ 例题分析例题分析 又又因为因为 所以所以 总结逆矩阵的求法？ 练一练