向量及其线性运算.ppt

返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 课程名称：微积分A（2） 任课教师：谭劲英 电话邮箱： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 解析几何：用代数的方法研究几何问题的数学分支. 方法：类比法（空间解析几何与平面解析几何进行 类比） 重要工具：向量（自然界中既有大小，又有方向的 量的数学抽象） 第五章 向量代数与空间解析几何 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 笛卡儿（1596-1690）- 著名的法国 哲学家、数学家、物理学家，解析几何 学奠基人之一. 黑格尔称他为“现代哲学之父”. 1637年，笛卡儿发表了几何学. 几何学 一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志 着解析几何学的诞生. 解析几何的出现，改变了 自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对 立着的“数”与“形”统一了起来. 此后，人类 进入变量数学阶段. 笛卡儿的这一天才创见，更 为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数 学的广阔领域. 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 一、空间直角坐标系 第一节 向量及其线性运算 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 1、空间直角坐标系的建立 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 空间的点有序数组 特殊点的表示：坐标轴上的点 坐标面上的点 2、点的表示 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 3、空间两点间的距离公式 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 证 ： 原结论成立. 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 类似 ： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 问题： （1）第一卦限点的坐标有何特点？ （2）坐标面、坐标轴上的点有何特点？ （3）M（x, y, z）关于坐标面、坐标轴、坐标原点 的对称点有何特点？ 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 二、向量与向量的表示 1、向量及其几何表示 向量：既有大小又有方向的量 向量表示：或 相等向量：大小相等且方向相同的向量 自由向量：不考虑起点位置的向量 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 向量的夹角： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 2、向量的坐标表示 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 3、向量的模与方向角 | | 向量的模：向量的大小（长度） 或记作 模为1的向量称为单位向量. 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角， 分别记为 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 1、向量的加法（减法） ： 平行四边形法则： 三、向量的加减法与数乘运算（线性运算） 缺点：对两个平行向量的加法未做说明 三角形法则： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 减法 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 例4、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形 必是平行四边形. 证： 与 平行且相等, 结论得证. 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 向量加法的坐标表达式 结论： 两向量和的坐标分别是两向量对应坐标之和. 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 2、向量与数的乘法 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 数乘运算的坐标表达式 结论： 向量与数的乘积的坐标分别是向量的三个坐标与 该数之积. 数与向量的乘积符合下列运算规律 ： （1）结合律： （2）分配律： 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 3、向量的平行（共线或线性相关） 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 4、向量按基本单位向量的分解表达式 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 空间一点在轴上的投影 5、向量的投影 A A 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 空间一向量在轴上的投影 返回 第五章 向量代数与空间解析几何 微积分 说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等。