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1.2 复数的乘幂与方根 注 : 1.2.1 复数的乘幂 解: 解: 1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算) 注: 解: 因为 所以 即 四个根是内接于中心在原点, 半径为21/8的圆的正方形的四 个顶点. 1.3 平面点集 平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z-z0|M 1.3.2 曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果 x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式. 1.简单曲线,简单闭曲线 设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C 的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2 而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的 连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简 单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为 简单闭曲线. 简单,闭 简单,不闭 非简单,不闭 非简单,闭 2.光滑曲线,逐段光滑曲线 由几段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线. 1.3.3 单连通区域,多连通区域 单连通域 多连通域 (一个整体) (带有裂痕,漏洞) 1.4 复变函数 1.4.1复变函数的概念(实变函数在复数范围内的推广) 单值函数,多值函数 定义在整个复平面上的多值函数 定义在除原点外整个复平面上的单值函数 则 两类常见的复变函数 1.4.2 复变函数的几何解释映照 几何意义: D G 设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy x y Ou v O z1 z2 w2 z3w3w1 1.5 初等函数 介绍几种常见的复变函数指数函数,对数函数,幂函数 ,三角函数 1.5.1 指数函数 则 求得 (欧拉公式) 复指数函数 性质: 电 源 此电路系统满足叠加原则 . 电源电流 当电路系统稳定后,电路中的电压,电流变化的频率 最终与电源频率相一致. 电容: 对应的等效电阻为 电感 : 对应的等效电阻为 整个电路的总电阻为 : 1.5.2 对数函数 定义： 记： 多值性 -主值 例如： 性质: 证明: 1.5.3 幂函数 定义: 为z的幂函数. 单值函数 .n值函数 .n值函数 .无穷值函数 1.5.4 三角
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