《电磁场与电磁波》ppt教案-08-1平面电磁波.ppt

第八章 平面电磁波 主 要 内 容 理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界 上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界 上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。 1. 波动方程 在无限大的各向同性的均匀线性媒质中，时变电磁场的方程为 上式称为非齐次波动方程。 式中 其中 是外源。电荷体密度 (r, t)与传导电流 (E ) 的关系为 若所讨论的区域中没有外源，即 J = 0 ，且媒质为理想介质， 即 = 0，此时传导电流为零，自然也不存在体分布的时变电荷，即 = 0，则上述波动方程变为 此式称为齐次波动方程。 对于研究平面波的传播特性，仅需求解齐次波动方程。 若所讨论的时变场为正弦电磁场，则上式变为 此式称为齐次矢量亥姆霍兹方程，式中 在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分 量分别满足下列方程： 这些方程称为齐次标量亥姆霍兹方程。 由于各个分量方程结构相同，它们的解具有同一形式。 在直角坐标系中，若时变电磁场的场量仅与一个坐标变量有关， 则该时变电磁场的场量不可能具有该坐标分量。 例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明 ，因为若场 量与变量 x 及 y 无关，则 因在给定的区域中， ，由上两式得 代入标量亥姆霍兹方程，即知 z 坐标分量 。 考虑到 2. 理想介质中的平面波 已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量 亥姆霍兹方程 若电场强度E 仅与坐标变量 z 有关，与 x , y 无关，则电场强度不可 能存在 z 分量。 令电场强度方向为 x方向，即 ，则磁场强度 H 为 因 得 已知电场强度分量 Ex 满足齐次标量亥姆霍兹方程，考虑到 得 这是一个二阶常微分方程，其通解为 上式第一项代表向正 z 轴方向传播的波，第二项反之。 首先仅考虑向正 z 轴方向传播的波，即 式中Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。 Ex(z) 对应的瞬时值为 电场强度随着时间 t 及空间 z 的 变化波形如图示。 Ez(z, t) z O t1 = 0 上式中 t 称为时间相位。kz 称 为空间相位。空间相位相等的点组成 的曲面称为波面。 由上式可见， z = 常数的平面为 波面。因此，这种电磁波称为平面波 。 因 Ex(z) 与 x, y 无关，在 z = 常 数的波面上，各点场强振幅相等。因 此，这种平面波又称为均匀平面波。 可见，电磁波向正 z 方向传播。 时间相位变化 2 所经历的时间称为电磁波的周期，以 T 表示，而 一秒内相位变化 2 的次数称为频率，以 f 表示。那么由 的关系 式，得 空间相位 kz 变化 2 所经过的距离称为波长，以 表示。那么由关 系式 ，得 由上可见，电磁波的频率是描述相位随时间的变化特性，而波长描述相 位随空间的变化特性。 由上式又可得 因空间相位变化 2 相当于一个全波，k 的大小又可衡量单位长度 内具有的全波数目，所以 k 又称为波数。 根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这 种相位速度以 vp 表示。令 常数，得 ，则相位速 度 vp 为 考虑到 ，得 相位速度又简称为相速。 考虑到一切媒质相对介电常数 ，又通常相对磁导率 ， 因此，理想介质中均匀平面波的相速通常小于真空中的光速。 注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。 在理想介质中，均匀平面波的相速与媒质特性有关。 由上述关系可得 平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的相速与媒质特性有关 。因此，平面波的波长与媒质特性有关。 由上述关系还可求得 式中 0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长 。 在真空中， 由上式可见， ，即平面波在媒质的波长小于真空中波长。这 种现象称为波长缩短效应，或简称为缩波效应。 由关系式 可得 式中 可见，在理想介质中，均匀平面波的电场与磁场相位相同，且两者 空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。 左图表示 t = 0 时刻，电场及磁场随 空间的变化情况。 Hy Ex z 电场强度与磁场强度之比称为电磁波的波阻抗，以 Z 表示，即 可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。 当平面波在真空中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则 上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式 表示为 或 Ex Hy z 对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此这种电 磁波称为横电磁波，或称为TEM波。以后我们将会遇到在传播方向上 具有电场或磁场分量的非TEM波。 由上可见，均匀平面波是TEM波，只有非均匀平面波才可形成非 TEM波，但是TEM波也可以是非均匀平面波。 根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc 可见，此时复能流密度矢量为实数，虚部为零。这就表明，电磁波能量 仅向正 z 方向单向流动，空间不存在来回流动的交换能量。 若沿能流方向取出长度为 l ，截面为 A 的圆柱体，如图示。 l SA 设圆柱体中能量均匀分布，且平均能量 密度为 wav ，能流密度的平均值为Sav ，则 柱体中总平均储能为（ wav A l ），穿过端 面 A 的总能量为（ Sav A ）。 式中 比值显然代表单位时间内的能量位移，因此该比值称为能量速度， 以 ve 表示。由此求得 若圆柱体中全部储能在 t 时间内全部穿 过端面 A ，则 已知 ， ，代入上式得 由此可见，在理想介质中，平面波的能量速度等于相位速度。 均匀平面波的波面是无限大的平面，而波面上各点的场强振幅又均 匀分布，因而波面上各点的能流密度相同，可见这种均匀平面波具有无 限大的能量。显然，实际中不可能存在这种均匀平面波。 当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域 ，则可以近似作为均匀平面波。 利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和，这种 展开有时是非常有用的。 Hy Ex z 在无限大的各向同性的均匀线性理想介质中 例 已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值为 试求： 频率及波长； 电场强度及磁场强度的复矢量表示式； 复能流密度矢量； 相速及能速。 解 频率 波长 电场强度 磁场强度 复能流密度 相速及能速 电磁波的波段划分及其应用 名 称频率范围波长范围典型业务 甚低频VLF超长波 330KHz10010km导航，声纳 低频LF长波，LW 30300KHz101km导航，频标 中频MF中波, MW 3003000KHz1km100mAM, 海上通信 高频HF短波, SW 330MHz100m10mAM, 通信 甚高频VHF超短波 30300MHz101mTV, FM, MC 特高频UHF微波 3003000MHz10010cmTV, MC, GPS 超高频SHF微波 330GHz101cmSDTV, 通信,雷达 极高频EHF微波 30300GHz101mm通信, 雷达 光频 光波 150THz3000.006m光纤通信 中波调幅广播（AM）：550KHz1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz30MHz 调频广播（FM）：88MHz108MHz 电视频道（ TV）：50MHz100MHz ; 170MHz220MHz 470MHz870MHz 无绳电话(Cordless Phone)： 50MHz; 900MHz; 2.4GHz 蜂窝电话(Cellular Phone)： 900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz 卫星TV直播（SDTV）：4GHz6GHz; 12GHz14GHz 全球卫星定位系统（GPS）：L1 =1575.42MHz L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902928MHz，2.42.4835GHz，5.7255.850GHz 美国有1.4万家以上广播电台，巴西有5000家，亚洲和非洲有 几千家。印尼有三家全国性电台和700多家地方台。尼日尼亚有70 多家。欧洲有3000个台，德国有40多家，斯洛文尼亚有20家。全 世界的合法电台总共有5万家。英国有5个全国台，40多个地方台 ，500多个商业性的电台。 3. 导电媒质中的平面波 若 0 ，则在无源区域中 若令 则上式可写为 式中 e 称为等效介电常数 。 由此推知导电媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程 若令 则上述齐次矢量亥姆霍兹方程可写为 若仍然令 ，且 ，则上式的解与前完全相同 ，只要以 kc 代替 k 即可，即 因常数 k c 为复数，令 求得 这样，电场强度的解可写为 式中第一个指数表示电场强度的振幅随 z 增加按指数规律不断衰减，第 二个指数表示相位变化。因此， k 称为相位常数，单位为rad/m； k 称 为衰减常数，单位为Np/m，而 kc 称为传播常数。 导电媒质中的相速为 此式表明，其相速不仅与媒质参数有关，而且还与频率有关。 各个频率分量的电磁波以不同的相速传播，经过一段距离后，各个 频率分量之间的相位关系将发生变化，导致信号失真，这种现象称为色 散。所以导电媒质又称为色散媒质。 导电媒质中平面波的波长为 可见，此时波长不仅与媒质特性有关，而且与频率的关系是非线性的。 导电媒质中的波阻抗 Zc 为 可见，波阻抗为复数。 因为波阻抗为复数，电场强度与磁场强度的相位不同。 导电媒质中磁场强度为 可见，磁场的振幅也不断衰减，且磁场强度与电场强度的相位不同 。 Ex Hy z 因为电场强度与磁场强度的相位 不同，复能流密度的实部及虚部均不 会为零，这就意味着平面波在导电媒 质中传播时，既有单向流动的传播能 量，又有来回流动的交换能量。 两种特殊情况： 第一，若 ，具有低电导率的介质属于这种情况。此时，可以 近似认为 那么 这些结果表明，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减。电 导率 愈大，则振幅衰减愈大。 第二，若 ，良导体属于这种情况。此时可以近似认为 那么 此式表明，电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，两者振幅发 生急剧衰减，以致于电磁波无法进入良导体深处，仅可存在其表面 附近，这种现象称为集肤效应。 场强振幅衰减到表面处振幅 的深度称为集肤深度，以 表 示，则由 可见，集肤深度与频率 f 及电导率 成反比。 三种频率时铜的集肤深度 f /MHz0.051 /mm29.80.0660.00038 可见，随着频率升高，集肤深度急剧地减小。 因此，具有一定厚度的金属板即 可屏蔽高频时变电磁场。 对应于比值 的频率称为界 限频率，它是划分媒质属于低耗介质 或导体的界限。 媒 质频 率 （MHz） 干 土2.6 （短波） 湿 土6.0 （短波） 淡 水0.22 （中波） 海 水 890 （超短波 ） 硅 （微波） 锗 （微波） 铂 （光波） 铜 （光波 ） 比值的大小实际上反映了传导电 流与位移电流的幅度之比。可见，非 理想介质中以位移电流为主，良导体 中以传导电流为主。 平面波在导电媒质中传播时，振幅不断衰减的物理原因是由于电导 率 引起的热损耗，所以导电媒质又称为有耗媒质，而电导率为零的 理想介质又称为无耗媒质。 一般说来，媒质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外，媒质的 极化和磁化现象也会产生损耗。考虑到这类损耗时，媒质的介电常数及 磁导率皆为复数，即 ， 。 复介电常数和复磁导率的虚部代表损耗，分别称为极化损耗和磁 化损耗。 非铁磁性物质可以不计磁化损耗。 波长大于微波的电磁波，媒质的极化损耗也可不计。 例 已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz ，z = 0 处 电场强度为 x方向，其有效值为100(V/m)。若 区域为海水， 其电磁特性参数为 ，试求: 该平面波 在海水中的相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗和集肤深度 。 在 z = 0.8m 处的电场强度和磁场强度的瞬时值以及复能流密度 。 解 可见，对于 5MHz 频率的电磁波，海水可以当作良导体，其相位常数为 衰减常数为 波长为 波阻抗 Zc 为 相速为 集肤深度 为 根据以上参数获知，海水中电场强度的复振幅为 磁场强度复振幅为 根据上述结果求得，在 z = 0.8m 处，电场强度及磁场强度的瞬时值为 复能流密度为 可见，频率为 5MHz 的电磁波在海水中被强烈地衰减，因此位于 海水中的潜艇之间，不可能通过海水中的直接波进行无线通信。必须 将其收发天线移至海水表面附近，利用海水表面的导波作用形成的表 面波，或者利用电离层对于电磁波的“反射”作用形成的反射波作为传 输媒体实现无线通信。 电场强度的方向随时间变化的规律称为电磁波的极化特性。 4. 平面波的极化特性 设某一平面波的电场强度的瞬时值为 显然，在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时间的变化轨 迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种平面波的极化特性称为线极化， 其极化方向为 x 方向。 设另一同频率的 y 方向极化的线极化平面波的瞬时值为 上述两个相互正交的线极化平面波 Ex 及 Ey 具有不同振幅，但具有 相同的相位，它们合成后，其瞬时值的大小为 可见，合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数，合成波的方向与x轴 的夹角 为 可见，合成波的极化方向与时间无 关，电场强度矢量端点的变化轨迹是与x 轴夹角为 的一条直线。因此，合成波 仍然是线极化波。 Ey Ex E Y X 0 Ey Ex E Y X 0 Ey Ex E y x 0 由上可见，两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化平面 波，合成后仍然形成一个线极化平面波。反之，任一线极化波可以分解 为两个相位相同，振幅不等的空间相互正交的线极化波。 若上述两个线极化波 Ex 及 Ey 的相位差为 ，但振幅皆为Em ，即 则合成波瞬时值的大小为 合成波矢量与 x 轴的夹角 为 即 由此可见，对于某一固定的 z 点，夹角 为时间 t 的函数。电场强度矢量 的方向随时间不断地旋转，但其大小不变。因此，合成波的电场强度矢 量的端点轨迹为一个圆，这种变化规律称为圆极化，如下图示。 上式表明，当t 增加时，夹角 不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转 方向与传播方向构成左旋关系，这种圆极化波称为左旋圆极化波。 Ey Ex E y x 0 左旋 右旋 z y x 0 若 Ey 比 Ex 滞后 ，则合成波矢量与 x 轴的夹角 。 可见，对于空间任一固定点，夹角 随时间增加而增加，合成波矢量随 着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成右旋关系，因此，这种极化波称为 右旋圆极化波。 由上可见，两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波 ，合成后形成一个圆极化波。反之，一个圆极化波也可以分解为两个振 幅相等，相位相差 的空间相互正交的线极化波。 还可证明，一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波 。反之亦然。 若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有不同振幅及不同相位， 即 则合成波的 Ex 分量及 Ey 分量满足下列方程 这是一个椭圆方程，它表示合成波矢量的端 点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称为椭圆 极化波。 y x E x y Ey m Ex m 当 0 时， Ey分量比 Ex 导前，与传播方向ez 形成左旋椭圆极化波。 前述的线极化波、圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况。由 于各种极化波可以分解为线极化波的合成，因此，仅讨论线极化平面波 的传播特性。 电磁波的极化特性获得非常广泛的实际应用。例如，由于圆极化波穿 过雨区时受到的吸收衰减较小，全天候雷达宜用圆极化波。 在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的 ，例如，铁氧体环行器及隔离器等。 在无线通信中，为了有效地接收电磁波的能量，接收天线的极化特性 必须与被接收电磁波的极化特性一致。 在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应 该使用圆极化电磁波。 众所周知，光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化 特性，或者说，其极化特性是随机的。光学中将光波的极化称 为偏振，因此，光波通常是无偏振的。 为了获得偏振光必须采取特殊方法。 立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍 摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才 能看到立体效果。 5. 平面边界上平面波的正投射 平面波在边界上的反射及透射规 律与媒质特性及边界形状有关。本教 材仅讨论平面波在无限大的平面边界 上的反射及透射特性。 边界 透射波 反射波 入射波 正投射 边界 斜投射 首先讨论平面波向平面边界垂直 入射的正投射。 再讨论平面波以任意角度向平面 边界的斜投射。 111222 z x Y 设两种均匀媒质形成一个无限大的平面边界，两种媒质的参数分别 为 及 ，如下图示。 建立直角坐标系， 且令边界位 于 z = 0 平面。 当 x 方向极化的线 极化平面波由媒质向边界正投射 时，边界上发生反射波及透射波。 S t S r S i 已知电场的切向分量在任何边界上必须保持连续，因此，入射波 的电场切向分量与反射波的切向分量之和必须等于透射波的电场切向 分量。 发生反射与透射时，平面波的极化特性不会发生改变。 设入射波、反射波及透射波电场 强度的正方向如左图示。根据传播方 向，它们可以表示如下： 111222 z x y S i S r 反射波 入射波 S t 透射波 式中 ， ， 分别为 z = 0 边界处各波的振幅。 因为当反射波为零时，入射波电场的切向分量等于透射波电场的切 向分量；当透射波为零时，反射波的电场切向分量等于入射波电场切向 分量的负值。可见，反射波及透射波仅可与入射波具有相同的分量。 相应的磁场强度分量为 入射波 反射波 透射波 已知电场强度的切向分量在任何边界上均是连续的，同时考虑到所 讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电流，因而磁场强度的切向分 量也是连续的，于是在 z = 0 的边界上下列关系成立 边界上反射波电场分量与入射波的电场分量之比称为边界上的 反射系数，以 R 表示。边界上的透射波电场分量与入射波电场分量 之比称为边界上的透射系数，以 T 表示。那么，由上式求得 媒质中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为 求得 第一，若媒质为理想介质 ，媒质为理想导体 ， 则两种媒质的波阻抗分别为 下面讨论两种特殊的边界。 求得 此结果表明，全部电磁能量被边界反射，无任何能量进入媒质中 ，这种情况称为全反射。 显然，这是完全符合理想导电体应具有的边界条件。 反射系数 R = 1 表明，在边界上 ，即边界上反射波电场 与入射波电场等值反相，因此边界上合成电场为零。 因媒质的传播常数 ，第一种媒质中任一点合成电 场 为 对应的瞬时值为 此式表明，媒质中合成电场的相位仅与时间有关，而振幅随 z 的变 化为正弦函数。由上式可见，在 处，对于任何 时刻，电场为零。在 处，任何时刻的电场振幅总是最 大。这就意味着空间各点合成波的相位相同，同时达到最大或最小。 平面波在空间没有移动，只是在原处上下波动，具有这种特点的电磁 波称为驻波，如下图示。 Ex 00 t1 = 0 1 Z 1 = 02 = 0 Ex 00 1 Z 1 = 02 = 0 Ex 00 1 Z 1 = 02 = 0 Ex 00 1 z 1 = 02 = O 前述的无限大理想介质中传播的 平面波称为行波。行波与驻波的特性 截然不同，行波的相位沿传播方向不 断变化，而驻波的相位与空间无关。 Ex 00 z 1 O 1 = 02 = t1 = 0 振幅始终为零的地方称为驻波的 波节，而振幅始终为最大值的地方称 为驻波的波腹。 Ez(z, t) z O t1 = 0 媒质中的合成磁场为 对应的瞬时值为 由此可见，媒质中的合成 磁场也形成驻波，但其零值及最 大值位置与电场驻波的分布情况 恰好相反，如左图示。磁场驻波 的波腹恰是电场驻波的波节，而 磁场驻波的波节恰是电场驻波的 波腹。 Hy 0 z 1 O 1 = 02 = y 此外，比较两种驻波分布还可见，电场与磁场的相位差为 。因此，复能流密度的实部为零，只存在虚部。这就意味着媒质 中没有能量单向流动。能量仅在电场与磁场之间不断地进行交 换，这种能量的存在形式与处于谐振状态下的谐振电路中的能量 交换极为相似。 在 z = 0边界上，媒质中的合成磁场分量为 ， 但媒质中 ，所以在边界上此时发生磁场强度的切向分 量不连续，因此边界上存在表面电流 JS ，且 第二，若媒质为理想介质 = 0 ，媒质为一般导体，则媒质 的波阻抗及传播常数分别为 反射系数为 式中 为R 的振幅， 为 R 的相位。代入前述电场强度公式求得 由此可见，当 时， 处， 电场振幅取得最大值，即 当 时， 处， 电场振幅取得最小值，即 由于 ，因此，电场振幅位 于 0 与 之间，即 ，此时电场驻波的空间分布如左图 。两个相邻振幅最大值或最小值之 间的距离为半波长。 0 1 z 电场振幅的最大值与最小值之比称为驻波比，以 S 表示 。那么 可以证明，若两种媒质均是理想介质，当 时，边界处为电场 驻波的最大点；当 时，边界处为电场驻波的最小点。这个特性通 常用于微波测量。 上述情况不同于前述的完全驻波。此时媒质中既有向前传播的行波 ，又包含能量交换的驻波。 由此可见，当发生全反射时， 。当 时， 此时反射消失。这种无反射的边界称为匹配边界。可见，驻波比的范围 是 。 例 已知形成无限大平面边界的两种媒质的参为 ， ； ， 当一右旋圆极化平面波由媒质向媒质垂直入射 时，试求反射波和折射波及其极化特性。 解 建立直角坐标系，令边界平面 位于平面，如左图示。已知入射波 为右旋圆极化，因此入射波、反射 波和入射波可以分别表示为 111222 z x Y S t S r S i 反射系数和透射系数分别为 由于反射波及透射波的 y 分量仍然滞后于 x 分量， 但反射波 的传播方向为负 z方向，因此变为左旋圆极化波。透射波的传播方 向仍沿正 z 方向，因此还是右旋圆极化波。 6. 多层边界上平面波的正投射 先以三种媒质形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的 传播过程及其求解方法。 Zc1Zc2Zc3 -l0 z 由此可见，在两条边界上发生多次反射与透射现象。 根据一维波动方程解的特性，可以认为媒质和中仅存在两种 平面波，其一是向正 z 方向传播的波，以 及 表示；另一是向负 z 方向传播的波，以 及 表示。在媒质中仅存在一种向正 z 方 向传播的波 。那么各个媒质中的电场强度可以分别表示为 相应的磁场强度分别为 根据 z = 0 和 z = l 两条边界上 电场切向分量必须连续的边界条件 ，得 根据两条边界上磁场切向分量必须连续的边界条件，得 上述两组方程中 是给定的，四个方程中只有 ， ， 及 等 四个未知数，因此完全可以求解。 对于 n 层媒质，由于入射波是给定的，且第 n 层媒质中只存在透 射波，因此，总共只有 (2n 2) 个待求的未知数。但根据 n 层媒质形 成的 (n 1) 条边界可以建立 2(n 1) 个方程，可见这个方程组足以求 解全部的未知数。 如果仅需计算第一条边界上的总反射系数，引入输入波阻抗概 念可以简化求解过程。在上述例子中，我们定义媒质中任一点的 合成电场与合成磁场之比称为该点的输入波阻抗，以 Zin 表示，即 已知媒质中合成电场为 式中R23 为媒质和之间的边界上反射系数。 根据前述反射系数定义，求得 那么，媒质中的合成磁场可以表示为 将上述结果代