微元法及定积分几何应用.pptVIP

第一节 定积分在几何上的应用 微元法 平面图形的面积 立体的体积 平面曲线的弧长 1 1 一 微元法 回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路 程问题， 当所求量具有下列三个特点 有关的量；（1）是与一个变量的变化区间 （2）对于区间具有可加性， 而 （3）可以“以匀代不匀”求部分量的近似值 个小区间 即如果用分点 把区间分成 相应地分成 则 个部分量 2 2 其中 于是 得 这里 含义是是较 高阶无穷小. 即是的线性主部. 一般地, 如果某个实际问题具有上述的三个特点, 在利用定积分求解时,可以按下述的步骤求解: 3 3 这个方法通常叫做微元法或元素法 4 4 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等 5 5 二 平面图形的面积 1 直角坐标系平面图形的面积 S S 6 6 设上连续函数 满足 则由曲线与 所围的平面图形的面积 为 2. 7 7 事实上 (1) 平面图形介于 直线之间, 因此选取作为积分 变量,作为积分 区间; (2) 在 上任取一个区间相应于该小 区间的平面图形可以近似看成以为高, 为底长的长方形, 所以得面积的微元素 8 8 (3) 以作为定积分的被积表示式, 在作定积分得 同理由上连续曲线 与直线所谓的平面 图形的面积 为 9 9 解两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 或选为积分变量, 1010 例2 求由曲线所围的平面图形的 面积 解法I解方程组 得两曲线的交点为 该图形可以看成是由围成的平面 图形与所围成的平面图形两个 部分构成的, 因此取为积分变量,积分区间分别为 得 1111 解法II取为积分变量, 积分区间为则 1212 解两曲线的交点 选 为积分变量 于是所求面积 1313 例4 在曲线上求一点P，使得 直线所围成该点的切线与曲线 的平面图形的面积最小。 解 则切线方程为 因此 设切点为 1414 因此当时，面积最小。 所求点为 1515 3.如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 1616 解椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 1717 2 极坐标系下平面图形的面积 设由曲线及射线 围成一曲边扇形， 求其面积， 这里在 上连续. 选积分变量积分区间 在区间上任取一小区间相应 地得到一小的曲边扇形, 它可以用半径为中心角 为的扇形近似代替, 因此 1818 同理,由连续曲线 及射线 所围的平面图形的面积为 1919 解 利用对称性知 2020 解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积 2121 例8 求由曲线所围成的平 面图形(如图所示阴影部分)的面积. 解解方程组 得取积分变量 积分区间 因此 2222 三 立体的体积 1 已知平行截面面积的立体的体积 设空间某立体是由一曲面和过且垂直于轴 的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于 个截面面积 轴的各 求此立体体积. 其中为区 间上连续函数. 取为积分变量， 为积分区间，在任取 一小区间 可以近似地看 成以为底，为高的柱体， 截下的物体 相应 所以 2323 设空间某立体是由一曲面和过且垂直于轴 的两平面围成, 如果已知该立体上且垂直于 个截面面积 轴的各 求此立体体积. 其中为区 间上连续函数. 取为积分变量， 为积分区间，在任取 一小区间 可以近似地看 成以为底，为高的柱体， 截下的物体 相应 所以 2424 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 2525 解取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 2626 2 旋转体体积 设空间物体是由连续曲线 与直线 及轴围成的平 面图形绕轴旋转一周而得 的, 求此物体的体积. 取为积分变量,为积分区间, 在上任取 一点相应物体的截面是以为半径的圆, 因此其 面积为所以所求的物体体积为 2727 同理,空间物体是由连续曲 线与直 及轴围成的平 面图形绕轴旋转一周而得 的, 线 此物体的体积为 2828 例11求由曲线直线及轴所围平 面图形绕轴旋转一周所得立体的体积. 解绕轴旋转 取为积分变量,为积分 区间, 则 绕轴旋转 取为积分变量, 0,2为积分区间, 相应的截面面积为 因此 对上任一 2929 例12求由曲线及 在点处的切线和 平面图形绕 立体的体积. 解 在点处切线方程 为 轴围成的 轴旋转一周所得 3030 解 由对称性得旋转体的体积 的参数方程为 3131 例14求由连续曲线 直线 及轴所围的曲边梯形 绕轴旋转一周所得立 体体积. 解取为积分变量,为积分区间, 在上 任取小区间相应的曲边梯形可以近似地看 成底长为高为的矩形, 其绕轴旋转一周 所得的旋转体体积为 所以 3232 四 平面曲线弧长 3333 1 直角坐标表示的平面曲线的弧长 设曲线弧为其中在 上有一阶连续导数, 取积分 变量为在上任取小 区间以对应小切 线段的长代替小弧段的长度. 小切线段的长为 弧长元素 弧长 3434 解 所求弧长为 例16解求曲线的全长. 解定义域为 3535 2 参数方程所表示的平面曲线的弧长 设曲线弧的参