定积分的概念和基本性质.ppt

6.1 定积分的概念 第1页 1 4.3.1 定积分的定义 4.3.2 定积分的基本性质 6.1 定积分的概念 第2页 2 例: 求曲线 yx2、直线 x1和 x轴所围成的曲边三角形的面积 。 x y O yx2 1 4.3.1 引出定积分定义的例题 6.1 定积分的概念 第3页 3 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定积分的概念 第4页 4 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定积分的概念 第5页 5 x y O yx2 1 (4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积： (1)分割 (2)近似 (3)求和 6.1 定积分的概念 第6页 6 分 割 求 和 近 似 取极限 把整体的问题问题 分成局部的问题问题 在局部上“以直代曲”, 求出局 部的近似值值； 得到整体的一个近似值值； 得到整体量的精确值值； 例: 求曲线 yx2、直线 x1和 x轴所围成的曲边三角形的面积 。 6.1 定积分的概念 第7页 7 一般地，求由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、 xb及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： yf(x) b x y O axi-1xi=x0xn=xi 6.1 定积分的概念 第8页 8 例2设物体沿直线作变速运动，速度为 v v (t), 假定v (t)是 t 的连 续函数，求此物体在时间区间 a, b 内运动所走距离 s 。 tOtnt0t1ti1 titn1 ab i 引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程 解： (2) 在第 i ( i1, 2, , n) 个时间段 ti1, ti上任取一时刻 i ，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离: Dsiv(i)Dti 。 (1) 用分点 tti (ti10, f(x)0, 利用定积分几 何意义验证 ： 6.1 定积分的概念 第20页 20 性质质1： 4.3.2 定积分的基本性质 有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和 ，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有 6.1 定积分的概念 第21页 21 性质质2： 4.3.2 定积分的基本性质 一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且 常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可 积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足 6.1 定积分的概念 第22页 22 性质质3：积积分的可加性定理 4.3.2 定积分的基本性质 设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可 积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内 可积，且有 6.1 定积分的概念 第23页 23 性质质4：积积分的可加性定理 4.3.2 定积分的基本性质 交换积分上下限，积分值变号，即 特别地，若a=b，则 6.1 定积分的概念 第24页 24 性质质5： 4.3.2 定积分的基本性质 设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则 有 6.1 定积分的概念 第25页 25 性质质6： 4.3.2 定积分的基本性质 6.1 定积分的概念 第26页 26 性质质7： 4.3.2 定积分的基本性质 若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和 m，则 推论：若函数f(x)在a, b上可积，则 6.1 定积分的概念 第27页 27 性质质8：定积积分中值值定理 4.3.2 定积分的基本性质 设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b