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文档简介

内积具有下列运算性质： （线性性） （对称性） （正定性） 1.向量的内积的概念及性质 复习 2.向量的长度及性质 向量的长度有下述性质： (1)非负性： (3)三角不等式： (2)齐次性： (4)柯西-布涅柯夫斯基不等式: 3.正交向量组 中 的正交向量组必线性无关 4.施密特正交化方法 5.正交矩阵 (1) QTQ=I Q为正交矩阵. (2)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1; (3)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT; (4)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵. (5)Q为正交矩阵 Q的列(行)向量组是单位正 交向量组. 第三节 实对称矩阵的特征值 和特征向量（二） 实对称矩阵的相关结论 用正交矩阵 P 化实对称矩阵 A 为对角形 矩阵的方法 实对称矩阵的特征根是实数. 一、实对称矩阵的相关结论 定理4.11 推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根 （重根按重数计算） 实对称矩阵的对应于不同特征值 的特征向量是正交的。 定理4.12 证明 于是 补充定理： 因不同的特征值对应的特征向量已知是 正交的（定理4.12）,但同一特征值的线性无 关的特征向量并不正交;可用施密特正交化方 法把同一特征值的线性无关的特征向量正交 化,对有重根的特征值的特征向量均作正交化 后可得一个正交向量组,再将该正交向量组单 位化,即可得到单位正交向量组,合并可得正交 矩阵. 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵 Q,使Q-1AQ为对角矩阵. 故有： 定理4.13 二 正交矩阵P化对称阵A为对角阵 将实对称矩阵对角化的步骤： 例3：已知三阶矩阵A的特征值 求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵 解 因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以 从而: 存在可逆矩阵P使 由定理3, 所以B的特征值为-4，-6，-12 从而所求与B相似的对角矩阵为： 1.对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值 2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量； (3)将特征向量单位化；(4)最后正交化 小结 练 习 对实对称矩阵 ，求出正交矩阵 使 为对角阵. 解 第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之
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