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内切与外接1 球与柱体1.1 球与正方体例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为( )A B CD1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A.B.4C.D.1.3 球与正棱柱例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上,则正四棱柱的侧面积有最 值,为 .2 球与锥体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体解得:例4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥例5 在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是_2.3 球与正棱锥 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥PABC中,PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为( ) A B. C. 4D.接球的球心,则. 例7 矩形中,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.3 球与球对多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.例7 在半径为R的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r的最大值为( )4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.例:与正
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