[理学]第三章 数据特征的描述与分析.ppt

3- 1 统计统计 学 第 3 章 综合指标 统计学 3- 2 统计统计 学 第3 章 综合指标 3.1 总量指标 3.2 相对指标概述 3.3 集中趋势的测度 3.4 离散程度的测度 3.5 偏态与峰度的测度 3- 3 统计统计 学学习目标 1. 了解总量指标与相对指标的概念和分类 2. 集中趋势各测度值的计算方法 3. 集中趋势各测度值的特点及应用场合 4. 离散程度各测度值的计算方法 离散程度各测度值的特点及应用场合 偏态与峰态的测度方法 用Excel计算描述统计量并进行分析 3- 4 统计统计 学总量指标 总量指标是反映一定时间、地点和条件下某 种现象总体规模或水平的统计指标 总量指标的种类 按其说明总体内容不同，分为总体单位总量和总 体标志总量 按其反映的时间状况不同，分为时期指标和时点 指标 按其采用的计量单位不同，分为实物指标、价值 指标和劳动指标 3- 5 统计统计 学时期指标与时点指标 时期指标反映现象在一段时期内发展过 程的总数量，如产品产量、商品销售额 、国内生产总值等。 时点指标表示现象在某一时刻上的状态 ，如人口数、商品库存额、固定资产原 值等。 3- 6 统计统计 学相对指标的概念和表现形式 相对指标是说明现象之间数量对比关系 的指标，用两个或两个以上有联系的指 标数值对比来求得，其结果表现为相对 数，故也将相对指标称为相对数。 相对指标有无名数和有名数两种表现形 式。 3- 7 统计统计 学相对指标的作用 利用相对指标，可以较清楚地反映现象 内部结构和现象之间的数量联系程度， 对现象进行更深入地分析和说明。 利用相对指标可以使某些不能直接对比 分析的统计指标，取得可以比较的基础 。 3- 8 统计统计 学相对指标的种类 结构相对指标 比例相对指标 比较相对指标 动态相对指标 强度相对指标 计划完成情况相对指标 3- 9 统计统计 学结构相对指标 3- 10 统计统计 学比例相对指标 比例相对指标是反映总体内部各个组成部分之间 的数量对比关系的相对指标。计算公式为 3- 11 统计统计 学比较相对指标 3- 12 统计统计 学动态相对指标 动态相对指标是表明某类现象在不同时间 上的指标数值对比关系的相对指标，用以 说明现象发展变化的方向和程度。计算公 式为: 3- 13 统计统计 学强度相对指标 强度相对指标是两个性质不同、但有一定联系 的总量指标数值之比。如人口密度、人均粮食产 量、医生密度等，有正逆指标之分，计算公式为 3- 14 统计统计 学计划完成程度相对指标 3- 15 统计统计 学计划完成程度相对指标例题 例1某企业计划规定2004年的劳动生产率要比2000年 提高4%，实际执行结果是提高5%，求计划完成情况相 对指标。 解：该企业劳动生产率计划完成情况为: 计划完成情况相对指标 (100%5%）/100%4%100% 105%/104%100%100.96% 3- 16 统计统计 学计划完成程度相对指标例题 例2某企业计划规定2004年的可比产品成本比2000年 降低5%，实际执行结果是可比产品成本降低了6%，求 计划完成情况相对指标。 该企业可比产品成本计划完成情况为: 计划完成情况相对指标 (100%6%）/（100%5%)100% (94%/95%)100%98.95%（指标有正负之分，并非低 于100%一定是未完成计划） 3- 17 统计统计 学计划执行进度指标 3- 18 统计统计 学长期计划的检查和监督 计划完成情况的检查，可分为长期计划检 查和短期计划检查两种。依计划任务数的规 定不同，检查长期计划的完成情况又有水平 法和累计法两种方法。水平法关心现象期末 的水平，而累计法关心的现象在整个计划期 内累计完成情况。 3- 19 统计统计 学水平法 3- 20 统计统计 学累计法 3- 21 统计统计 学水平法和累计法例题 例：某企业五年计划规定累计完成产品产量1200 万吨，其中最后一年产量达到300万吨，实际完 成情况如下表，求计划完成程度及提前时间。 时 间 第 一 年 第 二 年 第 三 年 第四年第五年 一 季 二 季 三 季 四 季 一 季 二 季 三 季 四 季 产量2002302606565707575808085 3- 22 统计统计 学 计算和运用总量和相对指 标的原则 在计算实物指标时，应注意现象的同类性 指标要有明确的统计含义和合理的统计方法 统一计量单位 计算和运用相对指标时要注意可比性 相对指标和总量指标结合运用的原则 3- 23 统计统计 学 数据分布的特征 集中趋势集中趋势 ( (位置位置) ) 偏态和峰态偏态和峰态 （形状）（形状） 离中趋势离中趋势 ( (分散程度分散程度) ) 3- 24 统计统计 学 数据分布特征的测度 数据特征的测度 分布的形状集中趋势离散程度 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 态态 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 3- 25 统计统计 学集中趋势的测度 一. 分类数据：众数 二. 顺序数据：中位数和分位数 三. 数值型数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较 3- 26 统计统计 学 数据分布特征的和测度 (本节位置) 数据的特征和测度 分布的形状集中趋势离散程度 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 态态 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 3- 27 统计统计 学 集中趋势 (Central tendency) 1.1. 一一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2. 2. 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 3. 3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 4. 4. 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高 层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据 3- 28 统计统计 学 分类数据：众数 3- 29 统计统计 学 众数 (mode) 出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 一组数据可能没有众数或有几个众数 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和 数值型数据 3- 30 统计统计 学 众数 (不唯一性) 无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8 一个众数一个众数 原始数据原始数据: 6 : 6 5 5 9 8 9 8 5 55 5 多于一个众数多于一个众数 原始数据原始数据: 25 : 25 28 28 2828 36 36 42 42 4242 3- 31 统计统计 学 分类数据的众数 (例题分析) 不同品牌饮饮料的频频数分布 饮饮料品牌频频数比例 百分比 (%) 可口可乐乐 旭日升冰茶 百事可乐乐 汇汇源果汁 露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 30 22 18 12 18 合计计501100 解解：这里的变量为这里的变量为“ “饮料饮料 品牌品牌” ”，这是个分类变量，这是个分类变量 ，不同类型的饮料就是变，不同类型的饮料就是变 量值量值 在所调查的在所调查的5050人中，人中， 购买可口可乐的人数最多购买可口可乐的人数最多 ，为，为1515人，占总被调查人，占总被调查 人数的人数的30%30%，因此众数为，因此众数为 “ “可口可乐可口可乐” ”这一品牌，即这一品牌，即 MM o o 可口可乐可口可乐 3- 32 统计统计 学 顺序数据的众数 (例题分析) 解：解：这里的数据为这里的数据为 顺序数据。变量为顺序数据。变量为“ “ 回答类别回答类别” ” 甲城市中对住甲城市中对住 房表示不满意的户房表示不满意的户 数最多，为数最多，为108108户户 ，因此众数为，因此众数为“ “不满不满 意意” ”这一类别，即这一类别，即 MM o o 不满意不满意 甲城市家庭对对住房状况评评价的频频数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)百分比 (%) 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 8 36 31 15 10 合计计300100.0 3- 33 统计统计 学 顺序数据：中位数和分位数 3- 34 统计统计 学 中位数 (median) 排序后处于中间位置上的值 MM e e 50%50%50%50% 2.2. 不受极端值的影响不受极端值的影响 3.3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据用于分类数据 4.4. 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即 3- 35 统计统计 学 中位数 (位置的确定) 原始数据：原始数据： 顺序数据：顺序数据： 3- 36 统计统计 学 顺序数据的中位数 (例题分析) 解：解：中位数的位置为中位数的位置为 300/2300/2150150 从累计频数看，从累计频数看， 中位数在中位数在“ “一般一般” ”这一这一 组别中。因此组别中。因此 MM e e = =一般一般 甲城市家庭对对住房状况评评价的频频数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 3- 37 统计统计 学 数值型数据的中位数 (9个数据的算例) 【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中位数中位数 10801080 3- 38 统计统计 学 数值型数据的中位数 (10个数据的算例) 【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3- 39 统计统计 学 四分位数 (quartile) 排序后处于25%和75%位置上的值 2.2. 不受极端值的影响不受极端值的影响 3.3. 主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，主要用于顺序数据，也可用于数值型数据， 但不能用于分类数据但不能用于分类数据 QQ L L QQM M QQ U U 25%25%25%25%25%25%25%25% 3- 40 统计统计 学 四分位数 (位置的确定) 原始数据：原始数据： 顺序数据：顺序数据： 3- 41 统计统计 学 顺序数据的四分位数 (例题分析) 解：解：Q Q L L 位置位置= = (300)/4 (300)/4 = =7575 Q Q U U 位置位置 = =(3300)/4(3300)/4 = =225225 从累计频数看，从累计频数看， Q Q L L 在在“ “不不 满意满意” ”这一组别中；这一组别中； Q Q U U 在在“ “ 一般一般” ”这一组别中。因此这一组别中。因此 Q Q L L = = 不满意不满意 Q Q U U = = 一般一般 甲城市家庭对对住房状况评评价的频频数分布 回答类别类别甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满 意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 3- 42 统计统计 学 数值型数据的四分位数 (9个数据的算例) 【例】：9个家庭的人均月收入数据 原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3- 43 统计统计 学 数值型数据的四分位数 (10个数据的算例) 【例】：10个家庭的人均月收入数据 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3- 44 统计统计 学 数值型数据：众数、中位数、均 值 3- 45 统计统计 学众数的含义 众数是指总体中最常见的标志值， 即，在分配数列中重复出现次数最多的 标志值。因而，它具有一定的代表性， 可以近似地表明现象的一般水平。 未分组数据或单项式数列的众数可 由定义直接计算；组距式数列的计算见 下页。 3- 46 统计统计 学组距式数列众数计算公式 众数的近似值常由下限公式或上限公式来确定。 1 下限公式：MoL d 12 2 上限公式：MoU d 12 3- 47 统计统计 学中位数的含义 将总体单位的某一数量标志的各个 数值按大小顺序排列，居于中间位置的 那个标志值就是中位数。 未分组数据或单项式数列的中位数 计算同顺序型数据；组距式数列的计算 见下页。 3- 48 统计统计 学 组距式数列的中位数计算公 式 (f2)Sm-1 下限公式为：MeLd fm (f2)Sm+1 上限公式为：MeUd fm 分组数据计算实例 3- 49 统计统计 学 均值 (mean) 集中趋势的最常用测度值 一组数据的均衡点所在 体现了数据的必然性特征 易受极端值的影响 用于数值型数据，不能用于分类数据和顺 序数据 3- 50 统计统计 学 简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean) 设设一组数据为一组数据为 x x1 1 ， ，x x2 2 ， ， ，x x n n 简单均值简单均值 3- 51 统计统计 学 简单均值与加权均值 (simple mean / weighted mean) 设设各组组中值为各组组中值为 x x1 1 ， ，x x2 2 ， ， ， x x k k 相应的频数为：相应的频数为： f f1 1 ， ， f f2 2 ， ， ，f f k k 加权均值加权均值 3- 52 统计统计 学 已改至此！ 某电脑电脑 公司销销售量数据分组组表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi)xi fi 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 580 1395 2640 4725 3700 3315 2050 1720 900 1175 合计计12022200 加权均值加权均值 ( (例题分析例题分析) ) 3- 53 统计统计 学 加权均值 (权数对均值的影响) 甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如 下 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f ）：8 1 1 3- 54 统计统计 学 均值 (数学性质) 1. 各变量值与均值的离差之和等于零 2. 2. 各变量值与均值的离差平方和最小各变量值与均值的离差平方和最小 3- 55 统计统计 学 调和平均数 (harmonic mean) 均值的另一种表现形式 易受极端值的影响 计算公式为 原来只是计算原来只是计算 时使用了不同时使用了不同 的数据！的数据！ 3- 56 统计统计 学 调和平均数 (例题分析) 某日三种蔬菜的批发发成交数据 蔬菜 名称 批发发价格(元) Mi 成交额额(元) Mi fi 成交量(公斤) fi 甲 乙 丙 1.20 0.50 0.80 18000 12500 6400 15000 25000 8000 合计计3690048000 【例例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三 种蔬菜该日的平均批发价格种蔬菜该日的平均批发价格 3- 57 统计统计 学 几何平均数 (geometric mean) n 个变量值乘积的 n 次方根 适用于对比率数据的平均 主要用于计算平均增长率 计算公式为 5. 5. 可看作是均值的一种变形可看作是均值的一种变形 3- 58 统计统计 学 几何平均数 (例题分析) 【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100 万吨，2000年与1999年相比增长率为9%， 2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与 2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增 长率。 年平均增长率年平均增长率114.91%-1=114.91%-1=14.91%14.91% 3- 59 统计统计 学 几何平均数 (例题分析) 【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、 2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1% 、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平 均收益率 算术平均：算术平均： 几何平均：几何平均： 3- 60 统计统计 学 众数、中位数和均值的比较 3- 61 统计统计 学 众数、中位数和均值的关系 左偏分布左偏分布 均值均值 中位数中位数 众数众数 对称分布对称分布 均值均值 = = 中位数中位数 = = 众数众数 右偏分布右偏分布 众数众数 中位数中位数均值均值 3- 62 统计统计 学 众数、中位数和均值的特点和应用 众数 n不受极端值影响 n具有不唯一性 n数据分布偏斜程度较大时应用 中位数 n不受极端值影响 n数据分布偏斜程度较大时应用 平均数 n易受极端值影响 n数学性质优良 n数据对称分布或接近对称分布时应用 3- 63 统计统计 学 数据类型与集中趋势测度值 数据类类型和所适用的集中趋势测趋势测 度值值 数据类类型分类类数据 顺顺序数据间间隔数据比率数据 适 用 的 测测 度 值值 众数中位数均值值均值值 四分位数众数调调和平均数 众数中位数几何平均数 四分位数 中位数 四分位数 众数 3- 64 统计统计 学离散程度的测度 一.分类数据：异众比率 二.顺序数据：四分位差 三.数值型数据：方差及标准差 四.相对位置的测量：标准分数 五.相对离散程度：离散系数 3- 65 统计统计 学 数据的特征和测度 (本节位置) 数据的特征和测度 分布的形状离散程度集中趋势 众众 数数 中位数中位数 均均 值值 离散系数离散系数 方差和标准差方差和标准差 峰峰 度度 四分位差四分位差 异众比率异众比率 偏偏 态态 3- 66 统计统计 学 离中趋势 1.1. 数据分布的另一个重要特征数据分布的另一个重要特征 2.2. 反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度） 3.3. 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 4.4. 不同类型的数据有不同的离散程度测度值不同类型的数据有不同的离散程度测度值 3- 67 统计统计 学 分类数据：异众比率 3- 68 统计统计 学 异众比率 (variation ratio) 1. 对分类数据离散程度的测度 2. 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为 4. 4. 用于衡量众数的代表性用于衡量众数的代表性 3- 69 统计统计 学 异众比率 (例题分析) 解：解： 在所调查的 在所调查的5050人当中，购人当中，购 买其他品牌饮料的人数占买其他品牌饮料的人数占 70%70%，异众比率比较大。因，异众比率比较大。因 此，用此，用“ “可口可乐可口可乐” ”代表消费代表消费 者购买饮料品牌的状况，其者购买饮料品牌的状况，其 代表性不是很好代表性不是很好 不同品牌饮饮料的频频数分布 饮饮料品牌频频数比例 百分比 (%) 可口可乐乐 旭日升冰茶 百事可乐乐 汇汇源果汁 露露 15 11 9 6 9 0.30 0.22 0.18 0.12 0.18 30 22 18 12 18 合计计501100 3- 70 统计统计 学 顺序数据：四分位差 3- 71 统计统计 学 四分位差 (quartile deviation) 对顺序数据离散程度的测度 也称为内距或四分间距 上四分位数与下四分位数之差 QD = QU QL 反映了中间50%数据的离散程度 不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性 3- 72 统计统计 学 四分位差 (例题分析) 解：解：设非常不满意为设非常不满意为 1,1,不满意为不满意为2, 2, 一般为一般为 3, 3, 满意为满意为 4, 4, 非常满非常满 意为意为5 5 已知已知 Q QL L = = 不满意不满意 = = 2 2 Q QU U = = 一般一般 = = 3 3 四分位差：四分位差： Q Q D D = = Q QU U = = Q Q L L = = 3 2 3 2 = = 1 1 甲城市家庭对对住房状况评评价的频频数分布 回答类别类别 甲城市 户户数 (户户)累计频计频 数 非常不满满意 不满满意 一般 满满意 非常满满意 24 108 93 45 30 24 132 225 270 300 合计计300 3- 73 统计统计 学 数值型数据：方差和标准差 3- 74 统计统计 学 极差 (range) 一组数据的最大值与最小值之差 离散程度的最简单测度值 易受极端值影响 未考虑数据的分布 7 7 8 8 9 9 10107 7 8 8 9 9 10 10 R R = = max(max(x x i i ) - ) - min(min(x x i i ) ) 5.5. 计算公式为计算公式为 3- 75 统计统计 学 平均差 (mean deviation) 各变量值与其均值离差绝对值的平均数 能全面反映一组数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少 4.4. 计算公式为计算公式为 未分组数据未分组数据 组距分组数据组距分组数据 3- 76 统计统计 学 平均差 (例题分析) 某电脑电脑 公司销销售量数据平均差计计算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计1202040 3- 77 统计统计 学 平均差 (例题分析) 含义：含义：每一天的销售量与平均数相比，每一天的销售量与平均数相比， 平均相差平均相差1717台台 3- 78 统计统计 学 方差和标准差 (variance and standard deviation) 数据离散程度的最常用测度值 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标 准差；根据样本数据计算的，称为样本方 差或标准差 4 6 8 10 124 6 8 10 12 x x = = 8.38.3 3- 79 统计统计 学 总体方差和标准差 (variance and standard deviation) 未分组数据： 组距分组数据：组距分组数据： 未分组数据：未分组数据： 组距分组数据：组距分组数据： 方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式 3- 80 统计统计 学 样本方差和标准差 (sample variance and standard deviation) 未分组数据： ： 组距分组数据：组距分组数据： 未分组数据：未分组数据： 组距分组数据：组距分组数据： 方差的计算公式方差的计算公式标准差的计算公式标准差的计算公式 注意：注意： 样本方差用自样本方差用自 由度由度n-1n-1去除去除! ! 3- 81 统计统计 学 样本方差 自由度(degree of freedom) 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后 ，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据 则不能自由取值 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据 可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6 ，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释 ，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方 差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量 3- 82 统计统计 学 样本标准差 (例题分析) 某电脑电脑 公司销销售量数据平均差计计算表 按销销售量分组组组组中值值(Mi)频频数(fi) 140150 150160 160170 170180 180190 190200 200210 210220 220230 230240 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 4 9 16 27 20 17 10 8 4 5 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 160 270 320 270 0 170 200 240 160 250 合计计12055400 3- 83 统计统计 学 样本标准差 (例题分析) 含义：含义：每一天的销售量与平均数相比，每一天的销售量与平均数相比， 平均相差平均相差21.5821.58台台 3- 84 统计统计 学 相对位置的测量：标准分数 3- 85 统计统计 学 标准分数 (standard score) 1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为 3- 86 统计统计 学 标准分数 (性质质) 均值等于0 2. 方差等于1 3- 87 统计统计 学 标准分数 (性质质) z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有 改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该 组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0 ，标准差为1。 3- 88 统计统计 学 标准化值 (例题分析) 9个家庭人均月收入标标准化值计值计 算表 家庭编编号人均月收入（元） 标标准化值值 z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1500 750 7