数学史部分1-古埃及的数学.ppt

数学哲学与数学史 数学史部分 第一章 数学的起源和早期发展 数学的发源地： 古代非洲的尼罗河尼罗河(NileNile)埃及埃及文明； 西亚的底格里斯河底格里斯河(TigrisTigris)和幼发拉底河幼发拉底河 (EuphratesEuphrates)巴比伦巴比伦文明； 中南亚的印度河印度河(IndiaIndia)和恒河恒河(GangesGanges) 印度印度文明 东亚的黄河黄河和长江长江中国中国文明. 数学产生于农业文明： 历法，测量土地，财富计算，产品交 换，观测天体，建造皇宫等 一、古埃及的数学尼罗河尼罗河 BC4000年的古埃及古埃及文明，已有象形象形文字 （HieroglyphicHieroglyphic，意为“圣刻圣刻” ）； BC3000年，埃及埃及成为统一的奴隶制国家 . 英国牛津博物馆英国牛津博物馆(Oxford Museum in Oxford Museum in BritainBritain)的古埃及第一王朝古埃及第一王朝（约BC3400年 以前）一个王室的权标上象形文字. 1、记数法以十为基数的象形象形文字 介于两符号之间的各数由这些符号的组合组合 表示. 但是，他们的符号缺乏位置上的意缺乏位置上的意 义义，这使得这种记数法是很麻烦的，为了 表示大数，必须用相应多个符号. 特点：、最早采用1010进制进制的国家之一； 、但没有采用位置位置计数法. 2、书写材料纸草纸草 papyruspapyrus 是英文 “paperpaper” 的语源. 现今保存下来的有两卷纸草两卷纸草记录了古埃古埃 及及的数学资料，它们都产生于约BC1700BC1700 年左右. 它们的作者可能是政治机关或 教堂的书记书记（秘书），它们的内容就是 题集题集和解答解答. 古埃及纸草书卷 莫斯科莫斯科纸草(Moscow PapyrusMoscow Papyrus) （现存于莫斯科美术博物馆莫斯科美术博物馆，一说现 存于莫斯科普希金精细艺术博物馆莫斯科普希金精细艺术博物馆） 25个数学问题（俄国俄国贵族戈兰尼采戈兰尼采夫 于1893年在埃及埃及发现），长约525cm， 宽约8cm，成书于约BC1890年. 兰德兰德纸草(RhindRhind Papyrus Papyrus) （大英博物馆大英博物馆）85个数学问题. 最初发现于埃及埃及的底比斯古都底比斯古都废虚. （ 苏格兰苏格兰人兰德兰德 H. H. RhindRhind 于1858年购买 于埃及埃及），长约525cm，宽约33cm. 零星的材料：卡呼恩卡呼恩（Kahun）纸草书 和柏林柏林纸草书，阿赫姆阿赫姆（Akhmin）木板 书（约BC2000年左右）以及克索斯克索斯时代 的羊皮书一卷-埃及数学的补充信息. 注意：希腊人希腊人认为他们的数学是从埃及埃及 来的，然而埃及埃及数学只限于非常实用者 ，古埃及人没有命题证明命题证明的思想，他们 的数学完全是实用数学实用数学，完全找不到推推 理理的数学痕迹，而古希腊却有. 3、古埃及的算术知识： （1） 古埃及人的计算具有迭加迭加的特点： 任何自然数都可由2 2的各次幂的和的各次幂的和组成. 例如： 计算 2731 *1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 - 837837 例：例：计算74526，只要连续地把除数26 加倍，直到再加倍就超过745为止. 1 26 2 52 745 = 416+329 *4 104 = 416+208+121 *8 208 = 416+208+104+17 + *16 416 将上述带（*）号的各项相 - 加，得商为16+8+4=28 2828 其余数为17. （2）、 分数的记法和计算 单位分数单位分数的广泛使用成为埃及埃及数学的一个 重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分 数都表示为一些单位分数单位分数（分子为1的分 数）的和和的形式（2/3例外）. 埃及人表示分数的符号是相当复杂的. 用 （读作roro）表示分数线，将 或 点的记号放在数的上方用来表示分数. 例如：例如： 某些特殊的分数记号，如 兰德纸草书兰德纸草书中数表：将所有分子为2而分 母从5 -101的奇数表示为单位分数之和单位分数之和. 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606 利用此表可进行分数计算分数计算 例如例如，要用521，可写成单位分数之和 运算程序如下： 5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 注意：加倍程序加倍程序和单位分数单位分数概念 兰德纸草书兰德纸草书第70题： 求100(7+1/2+1/4+1/8)的商. 答答：12+2/3+1/42+1/126. 解解：将除数逐渐加倍： 15+1/2+1/431+1/263，是除数的8倍; 另外，除数与8+4+2/3相乘得 ， 比被除数100小1/4. 调整调整：因除数的8倍是63，故 (7+1/2+1/4+1/8)2/63=1/4 由2/n数表查得 2/63=1/42+1/126， 于是 100(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126. 埃及埃及人为什么对单位分数单位分数情有独钟，原 因尚不清楚. 这种运算方法冗长繁复冗长繁复妨碍了数学的进 一步发展，这也是古埃及算术算术和代数代数不 能发展到更高水平的原因之一. 但是这种方法对于解决食物分配食物分配和土地土地 分配分配问题却十分方便. 例如，平均分食物的7个面包8个人分. 7/8 = 1/2+1/4+1/8 （3）、完成了基本的算术四则运算算术四则运算 （4）、已经有了求近似平方根求近似平方根的方法 4 4、古埃及的代数、古埃及的代数： 、有渐进的代数渐进的代数，但叙述方式是文词文词（即 文词代数文词代数阶段），很少引用符号； 、比例比例的概念也已有萌芽； 三角函数三角函数观念的萌芽 、一元一次方程求解一元一次方程求解 即形如 或 某些二次方程 、等差级数等差级数和等比级数等比级数的概念及其求和 求和 例例1 1、兰德纸草书兰德纸草书中有一方程问题：有一数 量，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全 部共为33. 用现代的记号是： 只不过分数部分分数部分写为 28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. 古埃及人把未知数未知数称为“堆堆”（aha) 例例2 2、兰德纸草书中兰德纸草书中的第24题：已知“堆 堆”与七 分之一“堆堆”相加为19，求“堆 堆”的值. “假位法假位法”（method of false positionmethod of false position）先 假设一个特殊的数作为“堆堆”的值（多半是假 值），将其代入等式左边去运算，然后比较得 数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确 的答案. 在上例中，用数7作为未知数x的实验值，于是 有，左边= 而应得的结果是19，这两个结果之比为 19/8=2+1/4+1/8，将7乘以（2+1/4+1/18）即得 正确的“堆堆”值为16+1/2+1/8. 例例3 3、算术级数问题：5个人分100个面包，要 求每个人所得的份数构成一个算术级数，并 且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和 -下伪法下伪法（regula falsi） 解解： 先令第一项最大，这使得公差是负数. 令首项和公差分别为a和d,写出了 于是公差为最小项的11/2倍，设最小项为1. 于是得级数： 但和为60,为满足条件，各项5/3， 最后得： 例例4 4、几何级数几何级数（等比级数等比级数）.兰德纸草书兰德纸草书第 79题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图人人，猫猫，鼠鼠，大麦大麦，量器量器等字 样，而且给出总数为19607. 问这个题目产生的是什么数列？总数是多少 ？-有答案无解法. “出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有 九鸟，鸟有九毛，毛有九色.” 5 5、古埃及的几何：、古埃及的几何： 在兰德兰德纸草书和莫斯科莫斯科纸草书中确实包 含有许多几何性质的问题，内容大都与土 地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知，古埃及的几何几何很发达. 几何问 题多是讲度量法度量法，涉及到田地的面积，谷 仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的“ 金字塔之迷金字塔之迷”就是其中的代表. （1 1）、法老胡夫的金字塔）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)(Pyramid)： 兴建于齐阿斯齐阿斯王朝（BC2900年左右），高 146.5米，塔基宽 233米，底边长度的误差为 1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差 1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周 长与其半径之比.用以砌塔的巨石达230万块 ，重量从2.5吨到50吨不等.如把这些石头凿成 平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度 相当于地球周长的2/3. 10万人用了20年的时 间才建成的. N.Khufu Pyramid （2 2）、阿蒙神庙）、阿蒙神庙(Oman (Oman TamplesTamples) )： 阿蒙阿蒙埃及埃及的太阳神太阳神.王殿总面积5000平方 米，有134根圆柱，中间最高的12根高达21米 . 、正方形,矩形,三角形,梯形面积公式.其他 几何图形近似计算. 如：任意四边形的面积 、已经知道毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理的特殊情况. 、圆的面积很好的近似. RhindRhind 50:假设一直径为9的圆形土地，其面 积=边长为8的正方形土地. 由此可知，圆面积为 ，其中 为直 径，相当于取 =3.1605=3.1605，误差为0.6%.0.6%. 、体积的计算 正四棱台的体积正四棱台的体积最高成就最高成就. 直棱柱(圆柱)的体积等于底面积乘以高. 、半球表面积的计算公式. 、知道相似三角形. 、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分 的问题上，已经有了正确的知识. 结束语： 静止静止的特性-产生于约BC1700年左右的兰德兰德 纸草书和莫斯科莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫 长的岁月中很少变化. 加法加法运算和单位分数单位分数始终是埃及算术埃及算术的砖块， 使古埃及人的计算显得笨重繁复. 古埃及人的