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1.定义法:设为数列,为定数,若对任给的正数,总存在正数N,使得当时,有,则称数列收敛于.记作:.否则称为发散数列.例1.求证其中. 证:当时,结论显然成立. 当时,记,则,由 得,任给,则当时,就有,即即 当 综上,例2.求 解:0,n=1,2,)极限存在,并求.证:由假设知 (1) 用数学归纳法易证: 此即证单调递增.用数学归纳法可证, 事实上, 由(1)(2)证得单调递增有上界,从而存在,对(1)式两边取极限得 ,解得和(舍去).4利用迫敛性准则(即两边夹法)迫敛性:设数列都以为极限,数列满足:存在正数N,当nN时,有,则数列收敛,且.例6.求解:记,则 由迫敛性得=.注:迫敛性在求数列极限中应用广泛,常与其他各种方法综合使用,起着基础性的作用.5利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义:设为定义在上的一个函数,J为一个确定的数,若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任意分割T,以及在其上任意选取的点集,只要T,就有,则称函数在上(黎曼)可积,数J为在上的定积分,记作.例7. 解:原式= = =例8.求 解:因为又 =同理由迫敛性得=.注:数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限,且每项的形式很规范”这一类型问题时,可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难,这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。6利用(海涅)归结原则求数列极限归结原则:对任何,有例9. 求 解:= =1 例10.计算解:一方面,另一方面, 由归结原则(取)由迫敛性得=注:数列是一种特殊的函数,而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质,有时我们可以
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