《函数导数及其应用》PPT课件.ppt

1.了解构成函数的要素；了解映射的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单地应用. 1.函数与映射的概念 函 数映 射 两集合 A、B 设设A、B是两个非空 设设A、B是两个非空 对应对应 关系 f：AB 如果按照某种确定 的对应对应 关系f，使 对对于集合A中的 一个数x，在集合B 中 的 数f(x)和它对应对应 如果按某一个确定的对对 应应关系f，使对对于集合A 中的 一个元素x， 在集合B中都有 的元素y与之对应对应 数集 集 合 任意 任意 唯一确 定 都有唯一确定 函 数映 射 名 称 称 为从集 合A到集合B的一个 函数 称对应 为从集 合A到集合B的一个映射 记 法 yf(x)，xA 对应f：AB是一个映 射 f：AB f：AB 思考探究1 映射与函数有什么区别？ 提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集. 2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 、 和 . (2)相等函数 如果两个函数的 和 完全一致，则这两 个函数相等. 定义域值域对应关系 定义域对应关系 思考探究2 如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相 等函数？ 提示：不一定，如函数f(x)x和函数g(x)x的定义域和 值域均为R，但两者显然不是同一函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有： 、 、 . 解析法列表法图象法 1.若对应关系f：AB是从集合A到集合B的一个映射，则下 面说法错误的是 ( ) A.A中的每一个元素在集合B中都有对应元素 B.A中两个元素在B中的对应元素必定不同 C.B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同 D.B中的元素在A中可能没有对应元素 解析：根据映射的概念可知，A中两个元素可以和B中的同一 个元素对应，即允许多对一，不允许一对多. 答案：B 2.如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是 ( ) 解析：A、B、C选项中都有“一对二”情形，不符合函数定义 中从集合A到集合B应为“一一对应”或“多对一对应”，只有D 符合函数定义.故选D. 答案：D 3.下列各组函数是同一函数的是 ( ) A. y 与y1 B. y 与y C. y 与y2x1 D. y 与yx 解析：y 排除A； y 排除B； y 排除C. 答案：D 4.若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(1) . 解析：f(x)x2bxc，f(1)0，f(3)0. 13b,13c. 即b4，c3. f(x)x24x3. f(1)1438. 答案：8 5.设函数f(x) ，若f(x)10，则x . 解析：当x0时，2x0，故不合题意； 当x0时，x2110， x3. 答案：3 对于映射f：AB的理解要抓住以下三点： 1.集合A、B及对应关系f是确定的，是一个整体，是一个 系统； 2.对应关系f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应， 它与从B到A的对应关系是不同的； 3.对于A中的任意元素a，在B中有唯一元素b与之相对应. 其要点在“任意”、“唯一”两词上. 已知映射f：AB.其中ABR，对应关系f：xy x22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之相 对应，则k的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k1 D.k1 思路点拨 A中不存在元素与k对应方程x22xk无解 ，利用判别式可以求k的范围. 课堂笔记 由题意，方程x22xk无实数根，也就是x2 2xk0无实数根. (2)24k4(1k)0，k1. 当k1时，集合A中不存在元素与实数kB对应. 答案 A 若15B，则在集合A中与之对应的元素x为何值？ 解：15B，x22x15. 即x22x150解之得x3或x5. 求函数解析式的常用方法 1.配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x) 表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； 2.换元法：设tg(x)，解出x，代入f(g(x)，得f(t)的解析式 即可； 3.待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般 形式，根据特殊值，确定相关的系数即可； 4.赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 5.解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关 系式，通过解关于f(x)的方程组求f(x). 特别警示 函数的解析式是函数表示法的一种.求函数的 解析式一定要说明函数的定义域. (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1) 2x17，求f(x)的解析式； (2)已知 ，求f(x)的解析式. 思路点拨 课堂笔记 (1)设f(x)axb(a0)， 则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b ax5ab， 即ax5ab2x17，不论x为何值都成立. 解得 f(x)2x7. (2)法一：设t 1，则x(t1)2(t1). 代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21. f(x)x21(x1). 法二：x2 ( )22 11( 1)21， f( 1)( 1)21( 11)， 即f(x)x21(x1). 解：f(x)2f( )3x， 以 代x，则f( )2f(x)3 . 由联立消去f( )得 f(x) x(x0). 故f(x) x(x0). 若将(2)中的条件改变“f(x)2f( )3x”，如何求解？ 分段函数是指自变量x在不同取值范围内对应关系不 同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻 辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段 函数性质(奇偶性、单调性)的一般方法. 特别警示 分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它 表示的是一个函数. 设函数f(x) 若f(4)f(0)，f(2) 2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路点拨 求b，c求f(x)的解析式解方程f(x)x 课堂笔记 法一：若x0，f(x)x2bxc. f(4)f(0)，f(2)2， 解得 f(x) 当x0时，由f(x)x，得x24x2x， 解得x2，或x1； 当x0时，由f(x)x，得x2. 方程f(x)x有3个解. 法二：由f(4)f(0)且f(2) 2，可得f(x)x2bxc的对称轴是 x2，且顶点为(2，2)，于 是可得到f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)x的解的个数就是函数图象y f(x)与yx的图象的交点的个数， 所以有3个解. 答案 C 分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向. 考题印证 (2009山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x) 则f(2 009)的值为 ( ) A.1 B.0 C.1 D.2 【解析】 x0时，f(x)f(x1)f(x2)， 又f(x1)f(x)f(x1)， 两式相加得f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)， 故f(x6)f(x3)f(x)，故函数周期为6. f(2 009)f(63345)f(5)f(1)log221. 【答案】 C 自主体验 已知符号函数sgnx 则不等式(x1)sgnx2的 解集为 . 解析：当x0时，sgnx1. 由(x1)sgnx2得x1. 当x0时，sgnx0. 不等式(x1)sgnx2解集为. 当x0时，sgn1， 由不等式(x1)sgnx2得x3. 综上可知不等式(x1)sgnx2的解集为x|x3或x1. 答案：x|x3或x1 1.已知f：xsinx是集合A(A0,2)到集合B0， 的一个映射，则集合A中的元素个数最多有 ( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 解析：A0,2，由sinx0得x0，2；由 sinx ，得x ， ，A中最多有5个元素. 答案：B 2.(2010枣庄模拟)已知函数f(x) ，那么 ff( )的值为 ( ) A.9 B. C.9 D. 解析：由于ff( )f(log2 )f(2)32 . 答案：B 3.若f(x)对任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(x) ( ) A.x1 B.x1 C.2x1 D.3x3 解析：2f(x)f(x)3x1， 用x代x得，2f(x)f(x)3x1， 2得，3f(x)3x3， f(x)x1. 答案：B 解析：f(x)x22xa， f(bx)b2x22bxa9x26x2. 则 a2，b3. f(x)x22x2， 则f(axb)f(2x3)(2x3)22(2x3)2 4x28x5. 4.已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中 xR，a，b为常数，则f(axb) . 答案：4x28x5 5.已知函数f(x)满足f(ab)f(a)f(b)且f(2)p，f(3)q， 则f(36) . 解析：f(36)f(6)f(6)2f(23)2f(2)f(3) 2(pq). 答案：2(pq) 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2x)f(x)x2x. (1)若f(2)3，求f(1)；又若f(0)a，求f(a)； (2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)x0，求函数f(x)的 解析式. 解：(1)因为对任意xR有 f(f(x)x2x)f(x)x2x， 所以f(f(2)222)f(2)222， 又f(2)3，从而f(1)1. 又f(0)a，则f(a020)a020， 即f(a)a. (2)因为对任意xR，有f(