高中全程复习方略配套课件：选修4-4.1坐标系.ppt

第一节 坐 标 系 三年16考 高考指数: 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下 平面图形的变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和 平面直角坐标系中表示点的位置的区别.能进行极坐标和直角坐 标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆 心在极点的圆)表示的极坐标方程. 1.将点的极坐标与直角坐标互相转化，直线和圆的位置关系是 考查重点； 2.高考题型随课改区的高考要求而定，可以是选择题、填空题 ，也可以是解答题. 1.平面直角坐标轴中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变_或_的单位长 度，将会对图形产生影响. x轴y轴 【即时应用】 思考：如何调整下面平面直角坐标系中x轴，y轴的单位长度，使 得所给图中的椭圆变为一个圆？ 提示：方法一：y轴的单位长度保持不变，x轴的单位长度缩小 为原来的 如图(1). 方法二：x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度伸长为原来 的2倍.如图(2). 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个_O，叫作 极点，从O点引一条_Ox，叫作极轴， 选定一个_和_的正方向(通常 取_方向)，这样就确定了一个平 面极坐标系，简称为极坐标系. 定点 射线 单位长度角 逆时针 (2)极坐标 对于平面内任意一点M，用表示_，表示以Ox为 始边、OM为终边的_，叫作点M的极径，叫作点M的极 角，有序实数对_叫作点M的极坐标，记作_. 当点M在极点时，它的极径=_，极角可以取_. (3)极坐标与直角坐标的互化 设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)， 线段OM的长 角度 (,)M(,) 0任意值 互化的前提条件互化公式 _与原点重合； _与x轴非负半轴重合； 取相同的单位长度. 极点 极轴 【即时应用】 (1)思考：若0,02,如何将点的直角坐标 (-3，4)化为极坐标？ 提示：由 得2=x2+y2=25,tan= 由于点(-3,4)在第二象限，故为钝角， 所以点(-3,4)的极坐标为点(5,),其中为钝角，且 (2)判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”) 极坐标系中点M的极坐标是惟一的 ( ) 极坐标为(2， )的点在第一象限 ( ) 极坐标系中，点(3， )与点(3， )相同 ( ) 【解析】极坐标系中的点，当0,2)时，除极点以外 ，M的极坐标才是惟一的，当R时，M的极坐标不惟一，故 不正确； 点的极坐标(2， )中，极角的终边在第二象限，极径大于0 ，故点在第二象限，故不正确； 极坐标系中，点(3， )与点(3， )的极角的终边相同，极 径相等，两点相同，所以正确. 答案： 3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程 直线线极坐标标方程图图形 过极点， 倾斜角为 = _(R)或=_ (R) (=_和=_ (0) 过点(a,0), 与极轴垂直 _=a + + cos 直线线极坐标标方程图图形 _=a (0) 过点(a, ), 与极轴平行 sin (2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为 ，直线l的极坐标方程 为：sin(-) =_. 0sin(-0) 【即时应用】 判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”) (1)过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐标 方程为= (0). ( ) (2)过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程为= (0). ( ) 【解析】根据极径的意义=|OM|，可知0；若0，则 -0，规定点M(,)与点N(-,)关于极点对称，所以 可得， (1)过极点的射线l上任意一点的极角都是 则射线l的极坐 标方程为= (0). 所以(1)正确. (2)过极点，倾斜角为 的直线分为两条射线OM、OM，它 们的极坐标方程为= 、= (0)，所以过极点，倾 斜角为 的直线的极坐标方程为= 和= (0)(也 可以表示为= (R).所以(2)不正确. 答案：(1) (2) 4.半径为r的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程： 圆圆心极坐标标方程图图形 （0，0） (r,0) =_ (02) r =_ 2rcos 圆圆心极坐标标方程图图形 (r,) =2rsin (0) (r, ) =-2rcos 圆圆心极坐标标方程图图形 =-2rsin (2) (r, ) (2)一般位置的圆的极坐标方程：若圆心为M(0,0)，半径为 r，则圆的极坐标方程是2-20cos(-0)+02-r2=0. 【即时应用】 (1)极坐标方程=4sin(0，0)表示曲线的中心 的极坐标为_. (2)圆心为(2, )，半径为3的圆的极坐标方程为_. 【解析】(1)曲线=4sin，由特殊位置圆的极坐标方程得半 径为2，所以曲线中心的极坐标为(2, ). (2)圆心( )的直角坐标为( )，且半径为3，所以圆的 直角坐标方程为 即 由公式 得圆的极坐标方程为 答案： 直角坐标系中的伸缩变换 【方法点睛】 1.图形的伸缩与坐标轴单位调整的关系 设变换前后的坐标系分别为xOy与xOy. (1)若x轴的单位长度为x轴的单位长度的a倍，则x=ax(a0) ，此时若a1，则图形左右伸长，若00),此时若b1,则图形上下伸长，若0b1，则图形 上下压缩. 特别地，若a=b=1，则认为图形没有变化. 2.图形的伸缩变换的应用 应用图形的伸缩变换时，可以将图形特殊化，即将不规则的图 形调整为规则的图形，以方便解题. 【例1】已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个交点，则椭圆的标准方程为_. 【解题指南】可以利用伸缩变换将椭圆方程变换为圆的方程， 转化为圆心到直线的距离求解. 【规范解答】伸缩变换法 令 则椭圆 (ab0)变换为单位圆 x12+y12=1, 直线 变换为直线 因为直线 与椭圆 有且仅有一个交点，则 直线 与单位圆x12+y12=1有且仅有一个交点. 由题意，得 整理得a2+3b2=16. a2-b2=4,解得a2=7,b2=3, 所以椭圆的标准方程为 答案： 【互动探究】本题能否用方程根的个数来解决？ 【解析】设椭圆方程为 c=2,a2-b2=4. 整理，得 由=0，得 48b4-(16a2b2-a4b2+48b4-3a2b4)=0, 即a4b2-16a2b2+3a2b4=0,a2+3b2=16. 与a2-b2=4联立方程组，解得a2=7,b2=3, 所以椭圆的标准方程为 【反思感悟】1.巧用换元法，通过伸缩变换将问题进行转化 ，可简化计算过程，优化解题思路. 2.此类问题的常规解法为利用方程思想结合一元二次方程根的 判别式求解. 【变式备选】设椭圆方程 的短轴端点分别为A、B，O为坐标原点，点 P在椭圆上，直线PA、PB分别交x轴于R、Q (如图所示)，则OQOR=_. 【解析】由椭圆方程 得 作伸缩变换 于是椭圆在此伸缩变换下化为圆x2+y2=b2. 设点A、B、P、Q、R变换后分别为 A、B、P、Q、R(如图)， 由平面几何知识，易证 RtBOQRtROA, OQOR=OAOB=b2, 还原到椭圆中去，则 答案：a2 极坐标与直角坐标的互相转化 【方法点睛】 1.极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提 (1)取直角坐标原点为极点； (2)x轴的正半轴为极轴； (3)规定长度单位相同 2.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，根据三角函 数的定义，当0时，有： (极坐标化为直角坐标公式)； (直角坐标化为极坐标公式). 【提醒】当0时,公式也成立, 因为点M(,)与点 M(-,)关于极点对称，即点M的极坐标也就是 (-,+)，此时，有 【例2】(1)点的极坐标 化为直角坐标为_； (2)若0，02，点的直角坐标(-2,2)化为极坐标为 _； (3)将极坐标方程=sin化为直角坐标方程的标准形式为_； (4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为_. 【解题指南】由公式 将极坐标化为直角坐标，由公式 将直角坐标化为极坐标. 【规范解答】 点的极坐标 化为直角坐标为 答案： (2)2=x2+y2=8， 且角的终边过点 (-2，2)， 点的直角坐标(-2，2)化为极坐标为 答案： (3)由极坐标方程=sin,得2=sin,化为直角坐标方程为 x2+y2=y,即 答案： (4)将直线方程x-y=0化为极坐标方程为cos-sin=0,即 tan=1, 答案： 【互动探究】若把本例(1)中的点的极坐标 则它化为直角坐标为_. 【解析】 点的极坐标 化为直角坐标为 答案： 【反思感悟】1.在把点P的直角坐标(x,y)化为极坐标(,) ，求极角 时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边过点 (x,y)，以便正确地求出02内的角. 2.过极点的倾斜角为 的直线的极坐标方程可以表示为 也可以表示为 和 【变式备选】1.极坐标系中，直角坐标为 的点的极径为 _，极角为_. 【解析】直角坐标为 的点到极点的距离为 又 且点在第二象限，得 于是点 的极坐标为 所以此点的极径为2，极角为 答案：2 2.极坐标方程=sin-2cos所表示的曲线形状是_. 【解析】极坐标方程=sin-2cos即2=sin-2cos, 化为直角坐标方程为x2+y2=y-2x,即 这是在 直角坐标系中，圆心坐标为 半径为 的圆. 答案：圆 极坐标方程的综合题 【方法点睛】 直线与圆的综合问题 (1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有: (2)若直线与圆相交于点A、B,则弦长公式为 直线线与圆圆的 位置关系 公共点 的个数 d与r 的关系 图图形 相离 相切 相交 无dr 一个d=r 两个dr 【例3】(1)在极坐标系中，圆=2cos与直线 3cos+4sin+a=0相切，则实数a=_. (2)在极坐标系中，已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为 =2sin与cos=-1(0 2)，则两曲线(含直线) 的公共点P的极坐标为_,过点P被曲线C1截得弦长为 的 直线的极坐标方程为_. 【解题指南】(1)将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程， 再进行计算. (2)利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求点的极坐标； 利用数形结合思想，转化为几何性质解决. 【规范解答】(1)由圆=2cos得2=2cos, 所以圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0的直角坐标方 程分别为x2+y2=2x,3x+4y+a=0. 将圆的方程配方得(x-1)2+y2=1, 依题意，得圆心C(1，0)到直线的距离为1，即 整理，得3+a=5， 解得a=2或a=-8.所以实数a的值为2或-8. 答案：2或-8 (2)由公式 得曲线C1:=2sin与C2:cos=-1(02)的直角坐标 方程分别为x2+y2=2y,x=-1.联立方程组，解得 由公式 得点P(-1,1)的极坐标为 方法一：由上述可知，曲线C1：=2sin即圆x2+(y-1)2=1，如 图所示， 过P(-1,1)被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：一条过原点 O，倾斜角为 直线的普通方程为y=-x,极坐标方程为 另一条过点A(0,2)，倾斜角为 直线的普通方程为y=x+2，极 坐标方程为(sin-cos)=2，即 方法二：由上述可知，曲线C1：=2sin，即圆x2+(y-1)2=1， 过点 被曲线C1截得弦长为 的直线有两条：一条过 原点O，倾斜角为 极坐标方程为 另一条倾斜角为 极坐标方程为 即 答案： 【互动探究】本例(2)中，若曲线C2的极坐标方程改为 =-cos(02),其他条件不变，则两曲线的公共弦长等 于_. 【解析】由公式 得曲线C1：=2sin与C2：=-cos(0 2)的直角坐标 方程分别为x2+y2=2y,x2+y2=-x联立方程， 得交点坐标为 所以两曲线的公共弦长等于 答案： 【反思感悟】有关直线与圆的极坐标方程的综合问题,常常转 化为直角坐标方程,如果结