《D25泰勒公式》PPT课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第五节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数 . 理论分析 近似计算 Taylor定理及其应用 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、问题的提出 目录 上页 下页 返回 结束 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? 问题: 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解决方法: 思考:多项式应该怎么确定？ 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在 点相交 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求 n 次近似多项式 目录 上页 下页 返回 结束 ？ 从而: 目录 上页 下页 返回 结束 2. 余项估计 令(称为余项) , 则有 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日型余项 . 泰勒(Taylor) 定理 : 阶的导数 ,时, 有 其中 则当 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)型余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 注意到 * 可以证明: 式成立 目录 上页 下页 返回 结束 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有在泰勒公式中若取 则有误差估计式若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 例 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式 类似可得 其中 目录 上页 下页 返回 结束 其中 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 取就得到三个常用幂函数的麦克劳林公式 ： 目录 上页 下页 返回 结束 已知 其中 因此可得 麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界. 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 已知 令 x = 1 , 得 由于欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求方程的一个近似实根，其中 是一个很小的参数。 解.根据习题1.5（A）第14题，此方程至少有一个根。 假设由该方程所确定的隐函数 (即该方程 的根)是连续的，且有足够的可微性，由泰勒公式： 取 得 ， 从而下求 利用隐函数求导法对原方程两端关于 求导得： 目录 上页 下页 返回 结束 从而有： 再求导得： 从而解得： 于是得到所求方程实根的二阶近似表达式： 目录 上页 下页 返回 结束 根据实际问题的精度要求，还可以求出该方程更高阶 的近似根的表达式。这种利用泰勒公式求方程的关于 小参数 的近似根的方法就是所谓的摄动法。 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限 例3. 求 解: 从而 ，只需要将分子中的 项,即用麦克劳林公式展到 由于分母 故， 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例4: 求 分析： 解:原式 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用泰勒公式证明不等式 例5. 证明 证: + 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 设当时， 与 是等价无穷小， 证明：当 时 证: 由于题中函数二阶可导，所以利用泰勒公式证明 。 取由泰勒公式得 ： ( 在 x , 0 之间) 又当时， 与 是等价无穷小，从而 比较两式可得所以： 目录 上页 下页 返回 结束 比较两式可得所以： 又因此当 时 由上面的结论易得以下不等式： 用同样方法可证，此例中当有 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 泰勒公式 其中余项 当时为麦克劳林公式 . 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 ) 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 例如 泰勒多项式逼近 642246 4 2 2 4 O 泰勒多项式逼近 642246O 4 2 2 4 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.计算 解: 原式 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 解:由于 用洛必达法则 不方便 ! 用泰勒公式将分子展到项, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用泰勒公式求下列极限 目录 上页 下页 返回 结束 解 ： 目录 上页 下页 返回 结束 解： 泰勒 (1685 1731) 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了