《函数与极限》PPT课件.ppt

高 等 数 学 龚 文 玥 第一章 函数与极限 第二章 导数与微分 第三章 不定积分 第四章 定积分及其应用 *第五章 无穷级数 第六章 空间解析几何 第七章 多元函数及其微分法 第八章 多元函数积分法 第九章 常微分方程及其应用 *第十章 数学计算软件的介绍 第一节 函数 第二节 初等函数 第三节 极限 第四节 极限的运算 第五节 函数的连续性 第一章 函数与极限 一、函数定义 1、定义：设x 和y是两个变量。是一个给定的 数集，如果对于每个 ，按f法则变量y总有 唯一的数值和它对应，则称f为D上的一个函数。 记作 其中x为自变量，y为因变量， 函数三要素:函数关系、定义域、值域。 2、函数的表示法：解析法、列表法、图示法 3、函数举例 符号函数 在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数， 称为分段函数。 绝对值函数 取整函数 ,即结果为不超过x的最大整数。 、函数的有界性 设y=f(x)在(a,b)内有定义 。若存在0,使得对所 有 ，有 ，则称函数在(a,b)内有界。如果不存 在这样的，则称函数在(a,b)内无界 。 二、函数的性质 2、单调性 3、奇偶性 4、周期性 三、复合函数 反函数 1、复合函数定义 设y=f(u)是数集E上的函数， 是从数集D到 数集E的函数，对 ，经过中间变量u， 都有唯一的y与之对应，则产生新函数称为数集D上 的复合函数。 记作 注意：并不是任意的函数都可以复合 例： 和 能否复合？ 和 呢？ 设有函数y=f(x)，若对于 ，在数集D上有 唯一的x与之对应，则得到 ，称为 y=f(x) 的反函数。 记作 定理 若函数y=f(x) 是定义在数集D上的单调函数 ，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调 。 2、反函数定义 例 在整个定义域上不存在反函数。但适当 限制定义域后，就存在反函数。 常量 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成， 可用一个解析式表示的函数。 一、基本初等函数 (C是常数) 一、数列的极限 1、数列定义：若函数f(n)的定义域是 ，当n从 小到大取值，对应函数值的排列 称为数列。 记为 ，其中 称为通项。 引例 请问以下数列是否存在极限，若存在，极限 是多少？ 1，-1，1，-1，1， 对 （无论多么小），总 正整数，当n 时，有 成立，则称A是 的极限或称 收敛于A。 记为 或 . 若 的极限不存在，则称 发散。 说明： （1）其中 可以任意给定，它描述了 与A的 无限接近程度； （2）N随着 的选定而选定且不唯一。 2、数列极限定义 3、几何意义 的极限是1。 用数列定义证明 (1) (2) (3) 定理1 收敛数列必有界。 推论 无界数列必发散。 定理2 单调有界数列一定收敛。 4、数列极限的有关结论 有界数列定义 若 ，使一切 都满足 ，则称 有界。 若不存在，则数列 无界。 例 问 ， , 是否有界。 二、函数的极限 （一） 时函数的极限 1、定义 对于 （无论多么小），如果总 ，使得当 时，有 ，则A叫做 当 时 的极限， 记作 或 2、几何意义 例 证明 （二） 时函数的极限 1 、邻域定义 称为 的 邻域， 记作 把中心 去掉，称为 的去心 邻域 即 ，记作 结论:若 ，则直线y=A是曲线y=f(x)的 水平渐近线。 2、极限定义 若对 ，总 ，当 时， 有 ，则叫做函数当 时的 极限。 记作 或 3、几何意义 例 证明 4、左极限与右极限 左极限： 或 右极限： 或 结论:极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等 例2 问 的极限是否存在。当 时 例1 讨论函数 当 时的极限 （三）无穷小量与无穷大量 说明：（1）无穷小是一个以0为极限的函数 （2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数 （除了常数0） （3）无穷小必须相对于某一个变化过程而言 1、无穷小定义1 若当 （或 ）时，函数f(x)的极限为0, 则f(x)叫做 （或 ）时的无穷小。 无穷小定义2 对 ,若总 (或X0),当 (或 )时,有 ,则f(x)叫做无穷小. 讨论: 数列1,0,2,0,n,0,是无穷大量吗？ 2、无穷大定义1 在x的某个变化过程中，如果 无限增大，则称 函数f(x)是在这个变化过程中的无穷大。 若函数f(x)对 （无论多么大），总 （或X0)，当 （或 ）时，有 则称 （或 ）时，f(x)为无穷大。 记作 无穷大定义2 例 证明 1 结论：如果 , 则直线x=x0是函数 y=f(x)的图形 的垂直渐近线. 3、无穷大与无穷小的关系 在自变量的同一变化过程中 为无穷大 为无穷小 为无穷小 为无穷大 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 例 求 一、无穷小量的运算 加、减法 乘法 除法 二、极限的四则运算 1、 例 求极限： 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 三、极限存在准则与两个重要极限 那么 limf(x)=A 若当 （或 ）时，恒有 且 重要极限1 C x （一）夹挤定理 例题 2、 1、 3、 4、 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来 推算圆面积割圆术，得到圆面积A是它的内 接正n（ )边形的面积 当 时的极限。 怎么得到的呢？ （二）单调有界收敛准则 单调有界数列必有极限。 重要极限2 例1 求下列极限： （1） （2） （3）（4） 例2 设某顾客向银行存入本金p 元，年利率为r, n 年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。如果 银行规定年复利率为r, 试根据下述不同的结算方式 计算顾客t年后的最终存款额。 (1) 每年结算一次; (2) 每月结算一次, 每月的复利率为r/12; (3) 若结算周期变为无穷小, 这意味着银行连续不 断地向顾客付利息，这种存款方法称为连续复利. 试计算连续复利情况下顾客的最终存款额. 例3 在化学反应中，物质的瞬时反应速率与物质 当时的量成正比。设比例系数为k，开始时参加反 应物质的量为 。经过 t小时后，未起反应的物 质的量为多少？ t小时 分析：将t小时n等分，n很大。在每一时间段中， 反应速率近似看成不变。 起反应的量 为 如果 ，则称 是比 高阶的无穷小， 记作 ； 如果 ，则称 与 是同阶无穷小； 当C=1时，称 与 是等价无穷小，记作 四、无穷小量的阶 1、定义 如果 ，则称 是 的k阶无穷小。 2、等价无穷小的重要性质 例 求 例 求 若 且 存在，则 当 时，有 一、连续函数的概念 定义1 设增量 如果当 时，有 ， 则称函数 在点 连续 . 1、连续性定义 定义2 若 ，则称 f(x)在点 处 连续。 例 用连续的定义证明函数 在R上连续。 一切初等函数在其定义域上是连续的。 、左连续和右连续 左连续：右连续： 结论：y=f(x)在点 处连续的充要条件是在点 既左连续又右连续 3、在区间（a,b)、a,b上连续的函数。 二、函数的间断点 、定义：如果f(x)有下列情形之一 (1)在点 无定义 (2) 不存在 (3)在点 有定义， 也存在，但 则称点 为函数y=f(x)的间断点或不连续点。 例1 考察函数 在点x=1处的连续性。 例2 考察 在x=1处 的连续性。 x y O 例3 讨论函数 在x=0处的连续性。 例4 求y=tanx的间断点。 例5 讨论函数 在 x=0处的连续性。 、间断点的分类：第一类间断点和第二类间断点 不是第一类间断点的，称为第二类间断点，其中使 得函数极限为 的称为无穷间断点；使得函数处于 振荡状态的点称为振荡间断点。 三、闭区间上连续函数的性质 定理1 （最大值与最小值定理） 若y=f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上必有 最大值与最小值。 推论（有界性定理） 若y=f(x