《x026函数的极值》PPT课件.ppt

2-6 函数的极大（小）值与最大（小）值 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 1.函数极大（小）值求法 局部最大（小）值点（极值点） 定理(必要条件) 定义 注意: 例如, 判别法1(第一充分条件) (是极值点情形) 设 是可能的极值点， 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例 解 判别法2(第二充分条件) 证 同理可证(2). 证明2 例2 解 图形如下 3、最大（小）值的求法 只要函数f(x)在闭区间a,b上连续，它在 a,b上必有最大值和最小值。 步骤 1.求临界点（驻点和不可导点）; 2.求区间端点及临界点的函数值,比较大小,那 个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) 例1：求 在-1,4上的最值， 解： f (x)在-1,4上连续， x=0处f (x)不存在，x=2为f (x)的驻点， 经比较知：f (x)的最大值为f(0)=0，最小值为f (-1)= -6。 解 令f (x)=0, 得 x =1， x=1为极大值点，极大值f(1) 在(-1，0)内， f (x)0; 例2 求 的极值，并求其在-1,1上的最值。 x=0为极小值点，极小值 f (0)=0. 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 例1 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去 ，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为 例2 解如图, 解得 经整理得： 因此， 得驻点 为最小 例4 讨论方程 lnx=kx(k不等0)有几个根？(P128) 解：f(x)=lnx-kx f (x)=1/x k=0 x=1/k K0 (0,1/k) f(x)0 (1/k,) f(x) k=1/e只有一个根x=1/k=e 2）f(1/k)=-lnk-1 k1/e 无根。 3）f(1/k)=-lnk-10 = 00 至少有一个根位于（0，1) f (x)=1/x k0 所以有唯一的一个根 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点 例5罪犯乘汽车从河北岸A处以1千米/分钟速度向正北逃窜， 警车从河南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问警车车 何时射击最好（相距最近射击最好）？ 解 例6 某人正处在森林地带中距公路2公里的A处，在公路右方8公 里处有一个车站B，假定此人在森林地带中每步行的速度为6公里 /小时，沿公路行走的速度为8公里/小时，为了近快赶到车站，他 选择ACB，问C应在公路右方多少？他最快能在多少时间内 到达B？ 解：设C点在公路右方x 公里处（0x8），则 行走时间为 A C B o x 唯一驻点 , 为最小值，C点应在公路右方 公里处。 证明不等式： 例证明(P124) 并证明不等式 唯一驻点x =1 两端同乘 bq 得 思考与练习 (L. P500 题4) 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ;取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 2. 设在的某邻域内连续, 且 则在点处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 3. 设是方程 的一个解, 若且 则在 (A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ;