《多元微积分基础》PPT课件.ppt

高等数学高等数学（下）（下） 1 硕士研究生入学统考数学试卷分为四种： 工学： 数学一、数学二 经济学和管理学： 数学三、数学四 l数学一： 高等数学，线性代数，概率论与数理统计 l数学二： 高等数学，线性代数 l数学三： 微积分，线性代数，概率论与数理统计 l数学四： 微积分，线性代数，概率论 数学一内容比例：高等数学 约56% 线性代数 约22% 概率论与数理统计 约22% 2 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分及其应用 第四节 多元复合函数的求导法 第五节 隐函数的求导公式 第六节 微分法在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 3 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一区域一区域 称为点 的 去心邻域. 若不需要强调邻域半径用表示点的邻域。 1. 邻域: 即 称为点的 邻域。 设为面上一定点, 4 2区域 开集：若点集的点都是内点, 则称点集 为开集. 边界：边界点的全体称为的边界. 是平面上一点， 若存在 设是平面上一个点集, 称点为点集的内点。 内点： 显然内点 例如是开集。 的边界是圆周：和 边界点： 称为的边界点. 若点的任一邻域内既有属于 的点, 也有不属于的点, 5 连通：设是开集，若对内任意两点，都可用包含于 内的 折线连结起来,则称是连通的。 区域或开区域：连通的开集称为区域或开区域 为区域或开区域 开区域连同它的边界一起，闭区域： 称为闭区域。 为闭区域。及 D D不连通不连通 开区域开区域闭区域闭区域 6 3. 维空间 有界的闭区域。 例如, 无界的开区域。 有界点集与无界点集： 对于点集若 使得 与某一定点间的距离则称为有界点集， 否则称为 无界点集。 有界的开区域。 无界的闭区域。 数轴上：点实数 平面上：点 空间中：点 7 设 为取定的一个自然数， 的全体为维空间。 称元有序数组维空间： 数称为该点的 第个坐标维空间记为 称为 维空间中的一个点。 维空间中的两点及间 的距离为 设维空间中点集则 为点的邻域。 相应的可以定义点集的内点、边界点、区域等概念。 8 二多元函数的概念二多元函数的概念 例如：圆柱体的体积 长方体的体积 类似可定义三元、四元函数， 二元以上的函数称为多元函数 记为 定义 设是平面上一点集， 若对内每一点变量 按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元 函数（或点的函数）， 点集为其定义域为其自变量， 也称为因变量数集 称为该函数的值域。 （或） 9 例求下列函数的定义域： 解 (1)() () 10 二元函数的几何意义： 在几何上表示空间曲面. 如,平面; 上半球面; 旋转抛物面; 上半锥面; 11 三多元函数的极限三多元函数的极限 定义2 若对 当时, 恒有 成立. 记作 或 设函数 在区域内有定义, 是 的内点或边界点。 则称常数 当 时的极限, 为 二元函数的极限称为二重极限。 注：1、2 二元函数的极限概念可以推广到 元函数（自己推）。 12 例2设 求证 证对 当时, 恒有 成立, 所以 取 要使 分析分析: : 只要证 对 使得 当时, 成立, 13 例3证明 证 对 成立. 取 所以 当时, 14 例4.讨论 是否存在? 解 极限值与 有关， 当点 沿直线 时， 趋于点 所以 不存在 二重极限的存在， 时， 函数值都接近于 注： 反之， 当 以不同方式趋于 时， 函数值 趋于不同的值， 则函数的极限不存在。 以任何方式趋于 是指 15 例求极限 解 例6求极限 解 注：注：多元函数的极限运算， 有与一元函数类似的运算法 则。夹逼准则，重要极限都 可以应用于多元函数的极限 运算。 16 四多元函数的连续性四多元函数的连续性 若函数 在点 处不连续， 则称点 为 的间断点 则称函数 若函数 内每一点连续， 在区域 在 内连续， 或称 内的连续函数。 是 定义 若 则称函数 在点 处连续 设函数 在区域 内有定义, 是 的内点或边界点, 且 间断点 (1)无定义的点 17 例如，函数 间断点为： 所以，点 是函数的间断点。 再如，函数 （孤立点） （函数无定义的点） (极限不存在) （曲线） 18 在有界闭区域上多元连续函数具有性质： 性质（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 上的连续函数， 一定能够取得最大值和最小值。 性质（介值定理） 在有界闭区域 上的连续函数 ，一定能够 取得介于最大值和最小值之间的任何数值。 多元初等函数（能用一个式子表示的函数）在其定义区域 内连续。 设函数 为多元初等函数，其定义域为 且 E为一区域或闭区域，则 说明：说明：定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 19 例7求下列极限： 解 20 小结： 1.平面点集：邻域、内点、开