函数的的周期性与对称性.doc

中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目： 课 时 数：3学生姓名： 辅导时间： 学科教师：课 题教学目的教学内容函数的对称性和周期性一、知识回顾：函数图像的对称性1、(1) 一个图关于点对称：()奇函数关于原点对称()若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于(，m)对称(2) 一个图关于直线对称：()偶函数关于轴对称() ，则关于对称(3) 两个图关于点对称 ()关于原点对称的函数：x-x，y-y，即-y=f(-x)()关于对称的函数：即2、函数的周期性(一) 定义：若，则为周期函数，为周期(二) 周期性考点： 1.求周期： (1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =(2).把所给函数化为y=Asin(x +) + C标准形式，直接读出周期 2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)(1).求解析式 (2).求函数值3、若，则；4、若，则；二、例题讲解：对称性：A 关于直线对称例1、（2012年徐汇二模）若函数图像与函数的图像关于直线对称，则；解：1变式：（2012届高三一模闸北区理）若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为 解：；（2012年虹口二模）在同一直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是（ ）； ； ； 解：B；（2011年浦东二模试卷）函数的图像关于任意直线对称后的图像依然为某函数图像，则实数、应满足的充要条件为 解：；B 关于点对称例2、（2011年嘉定一模）设，函数的图像与函数的图像关于点对称（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（3）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关试求的取值范围23解：（1）设点是函数图像上任意一点，关于点对称的点为，则，于是，（2分）因为在函数的图像上，所以，（3分）即，所以（或）（5分）（2）令，因为，所以，所以方程可化为，即关于的方程有大于的相异两实数解（8分）作，则，（11分）解得所以的取值范围是（12分）（3），当时，因为，所以，所以函数不存在最大值（13分）当时，令，则，当，即时，在上是增函数，存在最小值，与有关，不符合题意（15分）当，即时，在上是减函数，在上是增函数，当即时，取最小值，与无关（17分）综上所述，的取值范围是（18分）C 求值或解析式例3、已知函数对一切实数x满足条件，已知时，（1） 求时的解析式（2）求值域和单调区间（3）解不等式解：（1）而关于x=2对称，所以当时， （2）， （3）根据绝对值的意义（a+2)到2的绝对值大于(2a-1)到2的绝对值，所以有， 解得：小结：易错点：变式：1、设函数是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x2对称，已知时，求时，的解析式；解：小结：易错点：2、设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意都有（1）设，求，；（2）证明是周期函数解：令，则有； 令，则有所以（舍负）同理周期性：例4、已知函数对一切实数x满足条件，且时，则 时， ；时， 解：，所以，而，所以；时，；小结：易错点：变式：1、已知函数满足：对于任意的有成立，且当时，则a.分析：由知：，所以函数是以2为周期的周期函数.，故意原式值为0.2、(2012徐汇、松江二模理)若函数满足时，函数，则函数在区间内的零点的个数为 【正确答案】3、（1）已知函数对一切实数x满足条件，若，则 ，_；解：， （2）若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 则关于 对称；的周期为 4 ；=，则 。解： 又因为是奇函数，所以；4、（1）已知函数对于一切都有求的一个 周期。y2xBA1O（2）设函数是最小正周期为的偶函数，它在区间上的图像为如图所示的线段，求在区间上时的表达式解：对称性与周期性综合：1、（1）已知函数的定义域为R，且的图像关于原点对称，当时，则 解：；（2）已知函数的定义域为R，且为偶函数，当时，则时， 解：练习：1、（2011年杨浦二模）已知函数满足：对任意，恒有成立；当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 .解：2、（2012届高三一模长宁）已知函数 的定义域为R，且对任意 ，都有。若，则 .解：5；3、（2011年长宁二模试卷）设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 解：4、(2012闵行区二模文)方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：在上单调递减；函数不存在零点；函数的值域是；若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定其中所有正确的命题序号是（ ） 解：5、（2012年嘉定二模）已知函数（），给出下列四个命题：当且仅当时，是偶函数； 函数一定存在零点； 函数在区间上单调递减； 当时，函数的最小值为那么所有真命题的序号是 解：；6、（2012年高考题）已知（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，求函数（）的反函数7、对任意实数x，函数满足等式：，当时，求的值域和单调区间；解：，则有，所以周期是2。且当时，所以有所以所以的值域是，是增区间，是减区间。8、设函数在上满足，且在闭区间上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论解：而在闭区间上，只有所以，所以所以既不是奇函数也不是偶函数。（2） 因为，同理，所以所以，所以10是的周期；在区间上有2个函数值为0，即，所以上有200个周期共400个，在上有2个，共402个；同理在有400个，而上没有，所以共802个。9、（2011年浦东二模试卷）已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹的方程为.（1）试用表示点、点的坐标；（2）求动点的轨迹方程；（3）以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由.（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分） 对称性；（2分） 顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；（2分） 图形范围；（2分） 渐近线；（3分） 对方程，当时，函数的单调性.（3分）解：（1），得或，即点.，得，即点.4分（2），则点的参数方程为（为参数）,消去参数，得.8分（3） 关于轴对称； 将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线C关于轴对称. 曲线C的顶点为（0，0）； 在方程中，令，得.则曲线C的顶点坐标为（0，0）. 图像范围：； ，得. 直线是曲线C的渐近线； ，当时，. 则直线是曲线C的渐近线. 当时函数在上单调递增；. 设，则.则，即，所以当时函数在上单调递增. 10、（2012浦东新区二模理23）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为.若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为（1）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；（2）已知 ，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，求实数的取值范围；（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（）6分，问题（）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（）给你记分（）已知当时，函数，若是上周期为4的级类周期函数，且的值域为一个闭区间，求实数的取值范围；（）是否存在实数，使函数是上的周期为T的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由【正确答案】解（1）由题意可知： ， 即对一切恒成立， ， ， 令，则，在上单调递增，. （2）时，当时，当时，即时， 在上单调递增，且，即. （3）问题（）当