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初中数学中的折叠问题 QQ : 1519819521初中数学中的折叠问题监利县第一初级中学 刘光杰折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解一、矩形中的折叠1将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，CBD= 度BC、BD是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD则CBD = 90折叠前后的对应角相等2如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，再过点A折叠使折痕DEBC，若AB=4，AC=3，则ADE的面积是 沿BC折叠，顶点落在点A处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA，即AF = AA，又DEBC，得到ABC ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24对称轴垂直平分对应点的连线3如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得ADG ADG，由AD = AD = 3，AG = AG，则AB = 5 3 = 2，在RtABG中根据勾股定理，列方程可以求出AG的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则DFB等于（）根据对称的性质得到ABE=CBE，EBF=CBF，据此即可求出FBC的度数，又知道C=90，根据三角形外角的定义即可求出DFB = 112.5注意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积点C与点E关于直线BD对称，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD设FD = x，则FB = x，FA = 8 x在RtBAF中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以，阴影部分的面积SFBD = FDAB = 6 = cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角FEC=64，则1= 度；EFG的形状 三角形四边形CDFE与四边形CDFE关于直线EF对称2 = 3 = 644 = 180 - 2 64 = 52ADBC1 = 4 = 522 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF7如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B处，（如图）；展平，得折痕GC（如图）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C处，（如图）；沿GC折叠（如图）；展平，得折痕GC，GH（如图）（1）求图中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由（1）由对称的性质可知：BC=BC，然后在RtBFC中，求得cosBCF= ，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得BCB= 60；（2）首先根据题意得：GC平分BCB，即可求得GCC= 60，然后由对称的性质知：GH是线段CC的对称轴，可得GC= GC，即可得GCC是正三角形理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形BCFE关于直线EF对称，则这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在RtAEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 1.5 = 2.51 + 2 = 90，2 + 3 = 901 = 3又A = D = 90AEG DGP= ，则= ，解得GP = PH = GH GP = 4 - = 3 = 4，tan3 = tan1 = tan4 = ，= ，FH = PH = = CF = FH = S梯形BCFE = (+ )4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合MN为折痕，折叠后BC与DN交于P(1)连接BB，那么BB与MN的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y，AB=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNCB面积最小？并验证你的猜想(1)BB = MN过点N作NHBC交AB于点H），证ABB HNM(2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中BB = = 因为点B与点B关于MN对称，所以BQ = BQ，则BQ = 由BMQBBA得BMBA = BQBB y = = (3) 梯形MNCB的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，则CN = y - x梯形MNCB的面积为：(y x + y) 1 = (2y - x)= (2 x)= (x - )2 + 当x = 时，即B点落在AD的中点时，梯形MNCB的面积有最小值，且最小值是二、纸片中的折叠11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（） = 1，2 = 1 = 22+ABE=180，即2+30=180，解得=75题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使CAB=45，则后重合部分的面积为作CDAB，CEAB，1=2，根据翻折不变性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45，在RtADC中，AC = ，AB = SABCD = 在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是 如图，作QHPA，垂足为H，则QH=2cm，由平行线的性质，得DPA=PAQ=60由折叠的性质，得DPA =PAQ，APQ=60，又PAQ=APQ=60，APQ为等边三角形，在RtPQH中，sinHPQ = = ，则PQ = 注意掌握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14如图a是长方形纸带，DEF=20，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的CFE的度数是（）ADBC，DEF=EFB=20，在图b中，GE = GF，GFC=180-2EFG=140，在图c中CFE=GFC-EFG=120，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知DEF=EFB=20图bGFC=140，图c中的CFE=GFC-EFG15将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）设AB=xcm右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x（cm）则有2（35-x）+x=60，x=1016一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm，下底等于纸条宽的2倍，即6cm，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm，故超出点P的长度为（30-15）2=7.5，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折叠17如图，把RtABC（C=90），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=18在ABC中，已知AB=2a，A=30，CD是AB边的中线，若将ABC沿CD对折起来，折叠后两个小ACD与BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC的面积的（1）当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD等于a”的限制条件下）：AC边的长可以等于a；折叠前的ABC的面积可以等于；折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）(1)CD = ABACB = 90AB = 2a，BC = a，AC = SABC = ACBC = 重叠部分的面积为：= (2)若AC = a，如右图AD = a，2 = = 75BDC = 180- 75= 105BDC = 1053 = 105- 75= 301 = 3ACBD四边形ABDC是平行四边形重叠部分CDE的面积等于的面积的若折叠前ABC的面积等于过点C作CHAB于点H，则ABCH = CH = 又tan1 = AH = BH = 则tanB = ，得B = 60CBD是等边三角形2 = 43 = 4，ADCB2又CB2 = BC = BD = a，CB2 = AD四边形ADCB2是平行四边形则重叠部分CDE的面积是ABC面积的(3)如右图，由对称的性质得，3 = 4，DA = DB31 = 2又3 + 4 = 1 +24 = 1AB3CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19在ABC中，已知A=80，C=30，现把CDE沿DE进行不同的折叠得CDE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求1+2的和；（2）如图（2）把CDE沿DE折叠覆盖A，则求1+2的和；（3）如图（3）把CDE沿DE斜向上折叠，探求1、2、C的关系（1）根据折叠前后的图象全等可知，1=180-2CDE，2=180-2CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG，将ADG+AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将2看作180-2CED，1看作2CDE-180，再根据三角形内角和定理来求解：（1）如图(1) 1+2=180- 2CDE +180- 2CED=360- 2（CDE+CED）=360-2（180- C）=2C=60；（2）如图(2)连接DG，1+2=180- C-（ADG +AGD）=180-30-（180-80）=50；（3）如图(3) 2-1=180- 2CED -（2CDE - 180）=360- 2（CDE + CED）=360- 2（180- C）=2C所以：2 - 1=2C由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20观察与发现：将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小在第一次折叠中可得到EAD = FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则ADEFAEF = AFEAEF是等腰三角形(1)由折叠可知AEB = FEB，DEG = BEG而BEG = 45+ 因为AEB + BEG + DEG = 180所以 45+ 2（45+）= 180 = 22.5由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图），求MNF的大小由题意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，NF=PF，而由题意得出：MP=MN，又MF=MF，MNFMPF，PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180，即3MNF=180，MNF=60，在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21直角三角形纸片ABC中，ACB=90，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形CDF中，C=90，且CDF是等腰三角形，CF=CD，CFD=CDF=45，设DAE=x，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，FDA=CFD=22.5，DEB=2x，分类如下：当DE=DB时，B=DEB=2x，由CDE=DEB+B，得45+22.5+x=4x，解得：x=22.5此时B=2x=45；见图形（1），说明：图中AD应平分CAB当BD=BE时，则B=（180-4x），由CDE=DEB+B得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得x=37.5，此时B=（180-4x）=30图形（2）说明：CAB=60，CAD=22.5DE=BE时，则B=由CDE=DEB+B的，45+22.5+x=2x+此方程无解DE=BE不成立综上所述B=45或30先确定CDF是等腰三角形，得出CFD=CDF=45，因为不确定BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可22下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕CD交AB于点D；打开后，过点D任意折叠，使折痕DE交BC于点E，如图3；打开后，如图4；再沿AE折叠，如图5；打开后，折痕如图6则折痕DE和AE长度的和的最小值是（）过D点作DFBC，交AC于F，作A点关于BC的对称点A，连接DA，则DA就是DE和AE的最小值D点是AB的中点，DF=1，FC=1，FA=3DA= = 折痕DE和AE长度的和的最小值是本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章/view/f6a6b4dda58da0116c174995.html23小华将一条1（如图1），沿它对称轴折叠1次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图3），则图3中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1折叠n次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？解：每次折叠后，腰长为原来的故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（）2 - 则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（）n本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的24如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，按上述方法，第n次折叠后的折痕与BD交于点On，则BO1= ，BOn= 第一次折叠时，点O1是BD的中点，则BO1 = DO1第二次折叠时，点O2是BD1的中点，则BO2 = D1O2第三次折叠时，点O3是BD2的中点，则BO3 = D2O3因为AB = ，BC = ，所以BD = 4第一次折叠后，有BO1 = DO1BO1 = 2第二次折叠后，有BO2 = D1O2BO2 = = = 第三次折叠后，有BO3 = D2O3BO3 = = = 即当n = 1时，BO1 = 2 = = 当n = 2时，BO2 = = = 当n = 3时，BO3 = = = 则第n次折叠后，BOn = 问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn-1Dn-2的中点为Dn-1，第n次纸片折叠，使A与点Dn-1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6长（）AD = 第一次折叠后，AP1 = P1D，P1D1 = D1DAP1 = = 第二次折叠后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1AP2 = = = = 第三次折叠后，AP3 = P3D2AP3 = = = = = 即当n = 1时，AP1 = = 当n = 2时，AP2 = = 当n = 3时，AP3 = = 则第n次折叠后，APn = 故AP6 = 此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力26阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情形情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合探究发现（1）ABC中，B=2C，经过两次，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不妨设BC）之间的等量关系为 B = nC应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、60、105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角设另外两个角是4x，4y，则4x + 4y + 4 = 1804x = 4ya(a是正整数)所以y = 因为x，y，a，都是正整数，则a的值应为：1、3、10、21、43当a = 1时，x = y = 22，4x = 4y = 88当a = 3时，y = 11，x =33，4x =132 4y = 44当a = 10时，y = 4，x =40，4x =160 4y = 16当a = 21时，y = 2，x =42，4x =168 4y = 8当a = 43时，y = 1，x =43，4x =172 4y = 4注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养归纳总结能力27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形（1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明）（2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明（要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）解：（1）折叠方法如图所示（2）不能四边形至少应具备的条件是：“对角线互相垂直”折叠方法如图所示折叠即对称28如图，双曲线y = （x0）经过四边形OABC的顶点A、C，ABC=90，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，ABx轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是多少？设C(m，)根据对称的性质有：CD = CB = CB所以B(m，)，A(，)，D(m，0)AB = ，BD = ，CD = ，OD = m则四边形OABC的面积为：(AB + OD)BD - ODCD= (+ m) - m= 6明白折叠中的对应边就行29已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标(1)AB = = BCDBAD，BCBO = BDBABC4 = ，BC = OC = OB BC = 4 - = ，则C(0，)(2)如右图，BC= BCBC = BC = OB OC = 4 y在RtOBC中根据勾股定理有：y2