数学思想方法（姚梅华） .pdf

浅浅论数学思想方法在数学教学中的渗透论数学思想方法在数学教学中的渗透 苏州市相城区望亭中学 姚梅华 【摘摘 要要】数学思想，指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接 支配着数学的实践活动。 数学方法是为完成数学教学活动而借助的途 径、程序和手段，具有过程性、层次性和可操作性等特点。本文针对 数学思想在教学中如何渗透进行了分析。 【关键字关键字】数学思想方法 教学模式 教学策略 重要性 学生 【正正 文文】 数学思想在数学的学习过程中非常重要， 它有效指导教师的建构 教学模式，形成教学思想，更好的引发学生对数学的学习。数学思想 指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活 动。数学方法指完成某一数学活动过程而借助的途径、程序、手段， 具有过程性、 层次性和可操作性等特点。 数学思想是数学方法的灵魂， 数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段， 人们把它们统称 为数学思想方法。在教学中，要更好的掌握及领悟数学思想，带着思 想去教学，只有重视了思想方法的教学才能更好的诠释课堂。 著名教育学家布鲁纳说:“不管他们将来从事什么业务工作，唯 有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法， 却随时随地发生作用，使他们受益终生。 ”所以要重视数学思想方法。 数学思想方法在培养学生能力以及提高数学素质等方面都起着非常 重要的作用，所以教学上就不能单一的靠教师讲解，教师要积极地培 养学生的数学思想方法，帮助学生梳理解题的步骤和方法，从而提高 教学的质量。本文主要探讨数学思想方法在数学教学中是如何渗透 的。 一、重视数学思想方法的必要性 数学教学过程中，数学教材是数学教学的显性知识系统，其中非 常多的公式、理论、结论等都要很多步骤的解法，这就要求学生要有 灵活的、系统的、思维的逻辑方式，相对而言数学思想方法就是数学 教学中比较隐性的教学系统。 解题中， 学生有了一定的数学思想方法就可以推进数学解题的进 度及准确度， 也就是说数学思想方法是帮助学生构建解题思路的指导 思想，教师要及时的向学生渗透一些基本的数学思想方法，进而提高 学生的认知水平。 长时间的培养会指导学生获得更多的分析问题及解 决问题的能力， 学生掌握了数学思想方法就能让学生在以后的学习中 获益匪浅。可见教师向学生渗透数学思想方法是非常重要。 二、总结数学思想方法的分类 数学教学中，数学思想方法很多，教师要针对学生的实际情况进 行有目的的渗透。 笔者根据多年的教学经验将思想模式进行了全面的 归类，主要有函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归等几 个比较典型的思想。 （一）函数与方程思想 函数思想是用运动和变化的观点、 集合与对应的方法去研究数学 中的数量关系，建立函数关系，运用函数图像和性质去分析、转化和 解决问题；方程的思想就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将 问题中的条件转化为数学模型， 然后通过解方程 （组） 或不等式 （组） 来实现函数与方程（不等式）的转化、接轨，使问题得到解决。 笛卡尔的方程思想： 实际问题数学问题代数问题方 程问题。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有 关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论 参数的取值范围等问题； 二是在问题研究中通过建立函数关系或构造 中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质问题；方程思 想在解题中的应用主要表现：解方程或不等式，带有参数的方程或不 等式的讨论，需要转化为方程的讨论，构造方程或不等式求解问题。 例 1.不等式 11 1,()ab xaxb 的解集的区间长度之和为 简解：原不等式等价于 ()()()() 0 ()() xa xbxaxb xa xb ，即为考虑分 子对应的二次函数 2 ( )(2)f xxabxabab是否存在零点， 2 ()40ab ，存在两个相异的零点设为 1212 ,()x xxx。接着转化为 考虑两零点 12 ,x x与, a b的大小关系，即二次方程根的分布问题。计算 可得( )()0,( )()0f aabf bba ，可得 12 bxax，由穿根法得 原不等式解集为 12 ( ,)(, )b xx a，所以，区间长度之和为 12 xbxa=2. （二）数形结合思想 数形结合思想利用了形将一定的数量关系形象的展示出来了， 包 含“以形助数”和“以数助形”两个方面，以此帮助学生去理解从而 解决数学过程中遇到的难点。 数形结合思想在数学教学中应用的非常 普遍， 所以教师在教学过程中可以充分利用数形结合思想开拓学生的 思维空间模式，让学生完全感觉到数形结合的魅力所在，并且能通过 数形结合思想能更好的解答数学中的各项问题。 数形结合主要题型有 求值，求解解的个数，线性规划等。 例 2.已知函数( )yf x满足(2)(),fxfx 且1,1x 时， ( ) |f xx，则( )yf x与 7 logyx的交点个数为 . 简析： 与超越方程根的个数有关的问题都可以转化为考虑两个函 数图像的交点个数问题。 （三）分类与整合思想 分类讨论思想是一种基本的逻辑思维方法，是一种重要的数学 思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、积零为整的 思想与归类整理的方法。在解决某些数学问题时，有时会遇到多种情 况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是 分类讨论。分类讨论可能涉及对数学概念的分类，如去绝对值；也可 能涉及数学定理、公式和运算性质、法则的分类，如等比数列前 n 项 和公式要分1,1qq讨论；也可能涉及含参问题时对参数取值情况的 讨论等。进行分类讨论时，要遵循的原则是：分类的对象是确定的， 标准是统一的，要不遗漏、不重复，最后进行归纳小结，综合得出结 论。 例 3. （2012 江苏 14） 设集合,)2( 2 | ),( 222 ryxmyx m yxa, , 122| ),(ryxmyxmyxb, 若, ba 则实数 m 的取值范 围是_ 简析：当 2 2 m m 时，集合 a 表示圆环，结合图形，本题即为考虑 大圆 222 (2)xym与一组平行线之间的公共部分有交集。 解答本题时，可以对平行线和外层大圆的位置关系讨论：当平行 线在圆心同侧时，只要使大圆与近的直线有公共部分；当圆心在两平 行线之间或平行线上时，结论恒成立。 （四）转化与化归思想 数学中的转化有等价转化和不等价转化。 等价转化后的新问题和 圆问题的实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质， 需对所得结论进行必要的修正。 应用转化与化归思想解题的原则是化 难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。这种思维方式在解 题过程中应用非常广泛，如解方程中的同解变换，定律、公式中的命 题等价变换； 几何形体中的等积变换； 理解数学问题中的逆向变换等。 这种数学思想要更好的展示给学生并强烈的灌输给学生非常重要。 一 旦这种思想方法掌握收益后就能快速的找到解题突破口解答数学难 题。 例 4（2013 苏锡常镇 14）设函数xxfln)(的定义域为),(m， 对于任意),(, mcba，若cba,是直角三角形的三条边长，且 )(),(),(cfbfaf也能成为三角形的三条边长，那么m的最小值为 . 解析:本题的关键在于能否正确翻译问题中的数学语言 依 题 意,(,)a bm， 22 lnlnlnabab恒 成 立 ， 即 ,(,)a bm， 2222 a bab恒成立， 22 11 1 ab 恒成立 222 112 abm ， 2 2 1 m 2m 相关试题，设 22 ,axxyybp xy cxy，若对于任意的正 实数, x y，都存在以, ,a b c为三边长的三角形，则实数p的取值范围为 . 三、加强数学思想方法的渗透 加强数学思想方法的渗透要求教师要掌握正确的教学模式， 教师 在这一方面要将自己的观念做到及时的更新， 教师在教学的时候要从 思想上提高对渗透数学思想方法的重视。 教师要将数学思想方法渗透 到一定的程度，从而更好的提高学生对数学思想的掌握。 同时，教师要把握渗透的可行性，教师在教学时要及时的将该模 式进行数学思想方法渗透，