2011高中数学竞赛标准讲义第五章数列.doc

2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若sn表示an的前n项和，则s1=a1, 当n1时，an=sn-sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若a，b至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是sn=an2+bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和sn，当q1时，sn=；当q=1时，sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4 极限，给定数列an和实数a，若对任意的0，存在m，对任意的nm(nn),都有|an-a|，则称a为n+时数列an的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若，则xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若=，则xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2 已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通项an.【解】 因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当nk时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立，所以例3 设0a1.【证明】 证明更强的结论：1an1+a.1)当n=1时，1a1=1+a，式成立；2)假设n=k时，式成立，即1an.又由an+1=5an+移项、平方得 当n2时，把式中的n换成n-1得，即 因为an-1an+1，所以式和式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知，当nn+时，an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求s99=a1+a2+a99.【解】 因为an+a100-n=+=，所以s99=例7 求和：+【解】 一般地，所以sn=例8 已知数列an满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, sn为数列的前n项和，求证：sn2。【证明】 由递推公式可知，数列an前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为， 所以。 由-得，所以。又因为sn-20,所以sn, 所以，所以sn0，由可知对任意nn+，0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以，所以，解得。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1 数列xn满足x1=2, xn+1=sn+(n+1)，其中sn为xn前n项和，当n2时，xn=_.2. 数列xn满足x1=，xn+1=,则xn的通项xn=_.3. 数列xn满足x1=1，xn=+2n-1(n2)，则xn的通项xn=_.4. 等差数列an满足3a8=5a13，且a10, sn为前n项之和，则当sn最大时，n=_.5. 等比数列an前n项之和记为sn,若s10=10，s30=70，则s40=_.6. 数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, sn=x1+x2+ xn，则s100=_.7. 数列an中，sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若，并且x1+x2+ xn=8，则x1=_.9. 等差数列an，bn的前n项和分别为sn和tn，若，则=_.10. 若n!=n(n-1)21, 则=_.11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求的通项。12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列bn的前n项和sn。四、高考水平训练题1已知函数f(x)=，若数列an满足a1=，an+1=f(an)(nn+)，则a2006=_.2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项an=.3. 若an=n2+, 且an是递增数列，则实数的取值范围是_.4. 设正项等比数列an的首项a1=, 前n项和为sn, 且210s30-（210+1）s20+s10=0，则an=_.5. 已知，则a的取值范围是_.6数列an满足an+1=3an+n(n n+) ，存在_个a1值，使an成等差数列；存在_个a1值，使an成等比数列。7已知(n n+)，则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是_.8有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为_.9. 设an是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于sn与2的等比中项，则an=_.10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有_项是在100与1000之间的整数.11已知数列an中，an0，求证：数列an成等差数列的充要条件是（n2）恒成立。12已知数列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 当a1=p, b1=q(p0, q0)且p+q=1时，（1）求证：an0, bn0且an+bn=1（nn）；（2）求证：an+1=；（3）求数列13是否存在常数a, b, c，使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_个。2设数列xn满足x1=1, xn=，则通项xn=_.3. 设数列an满足a1=3, an0，且，则通项an=_.4. 已知数列a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则=_.5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=_.6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项.7. 数列an满足a1=2, a2=6, 且=2，则_.8. 数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, an+1-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有_项.9设hn+，数列an定义为：a0=1, an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？10设akk1为一非负整数列，且对任意k1，满足aka2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。11求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,使得a1=1, a21, an+1(an+1-1)=六、联赛二试水平训练题1设an为下述自然数n的个数：n的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,.2设a1, a2, an表示整数1，2，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。试问f(2007)能否被3整除？3设数列an和bn满足a0=1,b0=0，且求证：an (n=0,1,2,)是完全平方数。4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi+1xi (i=0,1,2,),（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n1，使3.999均成立；（2）寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。5设x1,x2,xn是各项都不大于m的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项？6设a1=a2=，且当n=3,4,5,时，an=,()求数列an的通项公式；()求证：是整数的平方。7整数列u0,u1,u2,u3,满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|9.已知n个正整数a0,a1,，an和实数q，其中0q1，求证：n个实数b0,b1,，bn和满足：（1）akbk(k=1,2,n)；（2）q(k=1,2,n)；（3）b1+b2+bn(a0+a1+an).我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：9、 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；10、 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 11、 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：6. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。7. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！ 我的大学爱情观目录：六、 大学概念七、 分析爱情健康观八、 爱情观要三思九、 大学需要对爱情要认识和理解十、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：12、 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；13、 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 14、 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：8. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。9. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。4、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（7） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（8） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的