2017-2018西城区高三第一学期理科数学期末试卷.pdf

更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 1 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科）2018.1 第第卷卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1若集合 |03Axx， | 12Bxx ，则AB （A） | 13xx （B） | 10xx （C） |02xx（D） |23xx 2下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是 （A）1yx （B）|1|yx（C）sinyx （D） 1 2 yx 3执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）6 （C）30 （D）270 4已知M为曲线C： 3cos , sin x y （为参数）上的动点设O为原点，则OM的最 大值是 （A）1（B）2 （C）3（D）4 5实数, x y满足 10, 10, 10, x xy xy 则2xy的取值范围是 （A）0,2（B）(,0 （C） 1,2（D）0,) 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 2 页 共 11 页 6设,a b是非零向量，且, a b不共线则“|ab”是“|2 |2|abab”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7已知A，B是函数2 x y 的图象上的相异两点若点A，B到直线 1 2 y 的距离相等， 则点A，B的横坐标之和的取值范围是 （A）(, 1) （B）(,2) （C）( 1,)（D）( 2,) 8 在标准温度和大气压下， 人体血液中氢离子的物质的量的浓度 （单位 mol/L， 记作H ） 和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L，记作OH ）的乘积等于常数 14 10已 知 pH 值的定义为pHlgH ，健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45 之间，那么 健康人体血液中的 H OH 可以为 （参考数据：lg20.30，lg30.48） （A） 1 2 （B） 1 3 （C） 1 6 （D） 1 10 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 3 页 共 11 页 第第卷卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9在复平面内，复数 2i 1i 对应的点的坐标为_ 10数列 n a是公比为2的等比数列，其前n项和为 n S若 2 1 2 a ，则 n a _； 5 S _ 11在ABC中，3a ， 3 C ，ABC的面积为 3 3 4 ，则c _ 12把4件不同的产品摆成一排若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的 摆法有_种 （用数字作答） 13从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的 部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示该几何 体的表面积是_ 14已知函数 2 ,2, ( ) 1 ,3. xxxc f x cx x 若0c ，则( )f x的值域是_；若( )f x的值域 是 1 ,2 4 ，则实数c的取值范围是_ 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 4 页 共 11 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间 0, 2 上的最大值 16 （本小题满分 13 分） 已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 1 月 1 日7:364 月 9 日5:467 月 9 日4:5310 月 8 日6:17 1 月 21 日7:314 月 28 日 5:197 月 27 日5:0710月26日6:36 2 月 10 日7:145 月 16 日4:598 月 14 日5:2411月13日6:56 3 月 2 日6:476 月 3 日 4:479 月 2 日5:4212 月 1 日7:16 3 月 22 日6:156 月 22 日4:469 月 20 日5:5912月20日7:31 表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻 2 月 1 日7:232 月 11 日7:132 月 21 日6:59 2 月 3 日7:222 月 13 日 7:112 月 23 日6:57 2 月 5 日7:202 月 15 日7:082 月 25 日6:55 2 月 7 日7:172 月 17 日 7:052 月 27 日6:52 2 月 9 日7:152 月 19 日7:022 月 28 日6:49 （）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于 7:00 的概率； （） 甲， 乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗， 且两人的选择相互独立 记X 为这两人中观看升旗的时刻早于 7:00 的人数，求X的分布列和数学期望()E X （）将表 1 和表 2 中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如 7:31 化为 31 7 60 ） 记表 2 中 所有升旗时刻对应数据的方差为 2 s， 表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为 2 * s， 判断 2 s与 2 * s的大小 （只需写出结论） 17 （本小题满分 14 分） 如图， 三棱柱 111 ABCA B C中，AB 平面 11 AA C C， 1 2AAABAC， 1 60A AC . 过 1 AA的平面交 11 B C于点E，交BC于点F. （）求证： 1 AC 平面 1 ABC； （）求证：四边形 1 AA EF为平行四边形； （）若 2 3 BF BC ，求二面角 1 BACF的大小. 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 5 页 共 11 页 18 （本小题满分 13 分） 已知函数( )esin1 ax f xx，其中0a （）当1a时，求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）证明：( )f x在区间0,上恰有2个零点 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2, 0)A，且离心率为 3 2 （）求椭圆C的方程； （）设直线3ykx与椭圆C交于,M N两点若直线3x上存在点P，使得四边形 PAMN是平行四边形，求k的值 20 （本小题满分 13 分） 数列 n A： 12 ,(4) n aaan满足： 1 1a ， n am， 1 0 kk aa 或1(1, 2,1)kn 对任意, i j，都存在, s t，使得 ijst aaaa，其中, , ,1,2, i j s tn且两两不相等 （）若2m，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； 1,1,1,2,2,2；1,1,1,1,2,2,2,2；1,1,1,1,1,2,2,2,2 （）记 12n Saaa若3m，证明：20S； （）若2018m，求n的最小值 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 6 页 共 11 页 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 1A2D3C4D 5D6C7B8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9( 1,1)10 3 2n， 31 4 1113 128133614 1 ,) 4 ； 1 ,1 2 注：第注：第 1 10 0，1 14 4 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分. . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解： （）因为 2 ( )2sincos(2) 3 f xxx 1cos2(cos2cossin2sin) 33 xxx 4 分 33 sin2cos21 22 xx5 分 3sin(2)1 3 x， 7 分 所以( )f x的最小正周期 2 2 T 8 分 （）因为 0 2 x， 所以 2 2 333 x10 分 当 2 32 x ，即 5 12 x 时，11 分( )f x取得最大值为3 113 分 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 7 页 共 11 页 16 （本小题满分 13 分） 解：（）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 1 分 在表 1 的 20 个日期中，有 15 个日期的升旗时刻早于 7:00， 所以 153 (A) 204 P 3 分 （）X 可能的取值为0,1,2 4 分 记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于 7:00”， 则 51 (B) 153 P， 2 (B)1(B) 3 PP 5 分 4 (0)(B)(B) 9 P XPP； 1 2 114 (1)C ( )(1) 339 P X ； 1 (2)(B)(B) 9 P XPP 8 分 所以 X 的分布列为： X012 P 4 9 4 9 1 9 4412 ()012 9993 E X 10 分 注：学生得到 X 1 (2, ) 3 B，所以 12 ()2 33 E X ，同样给分 （） 22 * ss13 分 17 （本小题满分 14 分） 解： （）因为AB 平面 11 AA C C，所以 1 ACAB 1 分 因为 三棱柱 111 ABCA B C中， 1 AAAC，所以 四边形 11 AA C C为菱形， 所以 11 ACAC 3 分 所以 1 AC 平面 1 ABC 4 分 （）因为 11 /A A B B， 1 A A 平面 11 BB C C，所以 1 /A A平面 11 BB C C 5 分 因为 平面 1 AA EF平面 11 BB C CEF，所以 1 /A A EF 6 分 因为 平面/ABC平面 111 ABC， 平面 1 AA EF平面ABCAF，平面 1 AA EF平面 1111 A B CA E， 所以 1 /AE AF 7 分 所以 四边形 1 AA EF为平行四边形 8 分 （）在平面 11 AA C C内，过A作AzAC 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 8 页 共 11 页 因为AB 平面 11 AA C C， 如图建立空间直角坐标系Axyz- 9 分 由题意得，(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,2,0)C， 1(0,1, 3) A， 1(0,3, 3) C 因为 2 3 BF BC ，所以 24 4 (,0) 33 3 BFBC ， 所以 2 4 (,0) 3 3 F 由（）得平面 1 ABC的法向量为 1 (0,1,3)AC 设平面 1 AC F的法向量为( , , )x y zn， 则 1 0, 0, AC AF n n 即 330, 24 0. 33 yz xy 令1y ，则2x ，3z ，所以( 2,1,3) n11 分 所以 1 1 1 |2 |cos,| 2 | AC AC AC n n n 13 分 由图知 二面角 1 BACF的平面角是锐角， 所以 二面角 1 BACF的大小为4514分 18 （本小题满分 13 分） 解： （）当1a时，( )esin1 x f xx， 所以( )e (sincos ) x fxxx 2 分 因为(0)1 f ，(0)1f ， 4 分 所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为1yx 5 分 （）( )e ( sincos ) ax fxaxx 6 分 由( )0fx，得sincos0axx 7 分 因为0a ，所以 ( )0 2 f 8 分 当 (0,)(,) 22 x时， 由sincos0axx， 得 1 tanx a 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 9 页 共 11 页 所以 存在唯一的 0 (,) 2 x ， 使得 0 1 tanx a 9 分 ( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下： x 0 (0,)x 0 x 0 (, )x ( )fx +0 ( )f x 极大值 所以( )f x在区间 0 (0,)x上单调递增，在区间 0 (, )x上单调递减11 分 因为 0 2 0 ()( )e1e10 2 a f xf ，12 分 且(0)()10ff ， 所以( )f x在区间0,上恰有 2 个零点13 分 19 （本小题满分 14 分） 解： （）由题意得2a ， 3 2 c e a ， 所以3c 2 分 因为 222 abc， 3 分 所以1b ， 4 分 所以 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 （）若四边形PAMN是平行四边形， 则/PA MN，且| |PAMN. 6 分 所以 直线PA的方程为(2)yk x， 所以(3, )Pk， 2 |1PAk 7 分 设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 由 22 3, 44, ykx xy 得 22 (41)8 380kxkx， 8 分 由0，得 2 1 2 k 更多考试资料请关注子川教育微信公众号 第 10 页 共 11 页 且 12 2 8 3 41 k xx k ， 12 2 8 41 x x k 9 分 所以 22 121 2 |(1)()4MNkxxx x. 2 2 22 6432 (1) (41) k k k 10 分 因为| |PAMN， 所以 2 22 22 6432 (1)1 (41) k kk k 整理得 42 1656330kk，12 分 解得 3 2 k ， 或 11 2 k 13 分 经检验均符合0，但 3 2 k 时不满足PAMN是平行四边形，舍去 所以 3 2 k ， 或 11 2 k 14 分 20 （本小题满分 13 分） 解： （） 3 分 注：只得到 或只得到 给 1 分，有错解不给分 （）当3m时，设数列 n A中1,2,3出现频数依次为 123 ,q qq，由题意1 (1,2,3) i qi 假设 1 4q ，则有 12st aaaa（对任意2st ） ， 与已知矛盾，所以 1 4q 同理可证： 3 4q 5 分 假设 2 1q ，则存在唯一的1,2, kn，使得2 k a 那么，对, s t，有 1 12 kst aaaa （, ,k s t两两不相等） ， 与