专题215超越方程反解难巧妙构造变简单高三数学解答题.pdf

【题型综述题型综述】 导数研究超越方程导数研究超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的 函数，与超越方程相对的是代数方程超越方程的求解无法利用代数几何来进行大部分的 超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解 在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用01096 23 xxx22ln2 2 xxxx 导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决 此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域 2、求导数，得单调区间和极值点 3、画出函数草图 4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解 x 【典例指引】【典例指引】 例 1已知函数在处取得极小值 lnf xaxx x 2 xe （1）求实数的值； a （2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点 2 2 lnF xxxxf x Fx F xx 且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由 12 ,0 ,0C xD x 12 xxCD,0N ss 0Fx 【思路引导】 （1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立， 2 0fe1a 12 0 2 xx F 因为，利用，得 12 12 12 4 1 2 xx Fxx xx 2 111 2ln0xxx 2 222 2ln0xxx ，所以=0，转化为 12 12 12 2 lnln 1 xx xx xx 12 12 1212 2 lnln4 2 xxxx F xxxx 21 ln0 1 t t t 其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况 1 2 x t x 21 ln 1 t u tt t （2）由（1）知函数 2 2lnF xxxx 函数图象与轴交于两个不同的点， （ ） ， F xx 12 ,0 ,0C xD x 12 xx ， 2 111 2ln0xxx 2 222 2ln0xxx 两式相减得 12 12 12 2 lnln 1 xx xx xx 2 21Fxx x 12 12 12 121212 2 lnln44 1 2 xxxx Fxx xxxxxx 下解即 12 1212 2 lnln4 0 xx xxxx 12 1 212 2 ln0 xxx xxx 令，即 1 2 x t x 12 0xx01t 21 ln0 1 t t t 令， 21 ln 1 t u tt t 2 22 114 11 t u t t tt t 又， 01t 0u t 在上是増函数，则， u t0,1 10u tu 从而知，故，即不成立 12 1212 2 lnln4 0 xx xxxx 12 0 2 xx F 0Fs 故不是的根 s 0Fx 例 2设函数 2 1 ln 2 f xxaxbx （1）当时，求函数的单调区间；来源:Zxxk.Com 3,2ab f x （2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒 2 1 (03) 2 a F xf xaxbxx x 00 ,P xy 1 2 k 成立，求实数的取值范围 a （3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围 0,1ab f xmx 2 1,e m 【思路引导】 （1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区 fx 0fx 0,0fxfx 间， 的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的 0fx F x 00 ,P xy 切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握 1 2 k 1 2 k 2 00 max 1 2 axx 有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解 f xmx ln 1 x m x 来源:Z.xx.k.Com 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和 导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性的步骤：确定函数的定义域； f x f x 对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围 f x 0fx x 0fx x 就是递减区间 例 3已知函数（） （1）讨论的单调性； （2）若关于 的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数 的取值范围 【思路引导】 （1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；（2） ，令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果 试题解析： （1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在 上单调递增，在单调递减； （2）依题意， ， 令，则， 令，则，即在上单调递增 又， 存在唯一的，使得 当， 在单调递增； 当， 在单调递减 ， 且当时， 又， ， 故要使不等式解集中有且只有两个整数， 的取值范围应为 【同步训练】【同步训练】 1已知函数（） ，且的导数为 2 1 e 2 x f xtx Rt f x fx （）若是定义域内的增函数，求实数 的取值范围； 2 F xf xxt （）若方程有 3 个不同的实数根，求实数 的取值范围 2 22f xfxxxt 【思路引导】 （）只需，即恒成立，求出即可得结果；（）原方程等 0fx 2 1 21 e 2 x txg x ming x 价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果 22 7 e 2 x txx 22 7 e 2 x h xxx 令，解得或 0h x3x 1x 列表得： x , 3 3 3,11 1, h x 0 0 h x增 极大值 减 极小值 增 由表可知当时， 取得极大值； 3x h x 6 5 e 2 当时， 取得极小值 1x h x 2 3 e 2 又当时，此时 3x 2 7 0 2 xx 2 e0 x 0h x 因此当时，；当时，；当时， 3x 6 5 0,e 2 h x 31x 26 35 e ,e 22 h x 1x ，因此实数 的取值范围是 2 3 e , 2 h x t 6 5 0,e 2 2已知函数的图象的一条切线为轴 （1）求实数的值；（2）令 3 2 2 ln 3 f xaxxxa ，若存在不相等的两个实数满足，求证： g xf xfx 12 ,x x 12 g xg x 12 1x x 【思路引导】 （1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得 0,0 x0a 值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性 3 2 21 1ln 3 g xxxx x 的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后 g x 1 G xg xg x G x 可令，利用单调性可得结论 12 01xx G x 且在上单调递减，在上单调递增， ,1 ,01 h xx g x h xx g x0,11, ， 10g 当时， ， 1x 1 01 x 记， 1111 G xg xgh xhf xfxff xxxx 记函数的导函数为，则 yfx yfx 22 1111 Gxfxfxff xxxx 3已知函数（） ， lnf xa xx0a 2 g xx （1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线 f x1x g x 求实数的值；来源:学*科*网 Z*X*X*K a 若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围 f xmx 1 , e m （2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有01a1,2 1 x 2 x 成立 1212 f xf xg xg x 【思路引导】 （1）首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为 f x1x 1 1fxa x 12fa ，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以1,a2yaxa2yaxa g x 根据直线与抛物线相切进行解题；问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变lnxxmx 1 , e 量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线 ln 1 x m x ln 1 x t x x 1 ,x e t xym 与有且只有一个交点， （2）当时， 在上单调递增， 在上单 yt x01a f x1,2 2 g xx1,2 调递增，设，则， ，于是问题转化为 12 12xx 12 f xf x 12 g xg x ，构造函数，通过函数在上单调递减， 2211 f xg xf xg x F xf xg x F x1,2 可以求出的取值范围 a ， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减， 2 1 ln x tx x 1 ,e e 0tx , e 0tx ， ，且时， ， 1 1te e 1 1t e e ,xe 1t x ； 1 1,11me e 证明：（2）不妨设，则， ， 12 12xx 12 f xf x 12 g xg x 可化为 1212 f xf xg xg x 2121 f xf xg xg x 2211 f xg xf xg x 设，即，在上单调递减， F xf xg x 2 lnF xa xxx F x1,2 恒成立，即在上恒成立， 2 2 0 2 axax Fx 2 2 1 x a x 1,2 ， 2 2 22 1 1 111 24 x x x 1a 从而，当时，命题成立 01a 4已知函数 ln ,2.718f xx x e （1）设， 2 216g xf xxex 记的导函数为，求； g x gx g e 若方程有两个不同实根，求实数的取值范围； 0g xaa （2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围 1,e 0 x 2 00 11m f xxm 【思路引导】 （1）对进行求导，将代入可得的值；对进行二次求导，判断的单调性得其 g xe g e g x gx 符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为 g xa ，令，题意等价于在上的最小值小于 0，对 00 00 1 ln0 m xm x xx 1 ln m h xxm x xx h x1,e 进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值 h x （2）由题可得， 2 000 ln11m xxx 00 00 11 lnmxx xx 00 00 1 ln0 m xm x xx 令，则在上的最小值小于 0， 1 ln m h xxm x xx h x1,e 又， 2 11xxm h x x 1，当时，即， 在上递减，所以，解得； 1me 1me h x1,e 0h e 2 1 1 e m e 2，当即， 在递增，解得； 1 1m 0m h x1,e 10h2m 3，当，即，此时要求又， 11me 01me10hm0ln 11m 所以， 0ln 1mmm 所以此时不成立， 12ln 12hmmmm10hm 综上或 2m 2 1 1 e m e 点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求 函数的最值问题，正确求导是解题的关键在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区0 间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别 5已知函数来源:Z(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值 为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点 代入研究即可得 的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，