北京邮电大学数学分析期末考试2016年1月附答案.pdf

1 北京邮电大学北京邮电大学 2015-20162015-2016 学年第一学期学年第一学期 数学分析数学分析 （上）考试卷（上）考试卷 考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效 一一. .填空题（本大题共填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1. 设 22 0ac，则 2 0 sin(1 cos ) lim (1)ln(1) x x axbx c edx ; 2. 0 2 0 1 |sin |arctan lim x x tdt t x _; 3.设函数 3 2 1 1 t x e ydt t 的反函数为( )xg y，则(0) g _; 4. 设函数( )yy x由参数方程 2 0 ln(1) cos t xt yu du 确定，则 2 2 0t d y dx . 5. 曲线 1 x yxe 的斜渐近线方程为_； 6. sin sincos x dx xx _; 7. 3 2 42 0 sin (|sin|) cos2 x x dx xsin x . 8. 设( )f x连续，满足 0 ( )2( )21 x f xf t dtx ，则 1 0 ( )f x dx _; 9. 2 ln e x dx x . 2 10.设 2 11 () 23 xx yexe是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程 x yaybyce的一个特解，则：_. ( )3,2,1A abc ；( )3,2,1B abc ( )3,2,1C abc ；()3,2,1D abc 。 二二 （9 9 分分）. 求函数 arctan (1) x yxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。 三三 （每小题（每小题 6 6 分，共分，共 1212 分）分）. （1）设函数( )yy x由方程 21 1 ln(1) y t edtx 确定，求 2 2 0x d y dx ； （2）设( )f x连续且(0)0f，求 1 2 0 0 0 () lim () x x xf xt dt t f xt dt 。 四四.(8.(8 分分).).求出两个多项式( )P x、( )Q x，使得 432 (21)cos(831)sin ( )cos( )sinxxxxxx dxP xxQ xxC 其中C为任意常数。 五五.(8.(8 分分) ).设( )f x，( )g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，( )0fx， ( )0g x，证明：对0,1a ， 1 00 ( ) ( )( )( )( ) (1) a fx g x dxf x g x dxf a g 。 六六.(9.(9 分分) ).求微分方程 2 2sinyyyx的通解。 3 七七.(8.(8 分分) ). 已知曲线 x ye及其过原点的切线 L、y轴所围图形为 D，求 (1) 切线 L 的方程，图形 D 的面积； (2) 图形 D 绕直线1x 旋转一周所得旋转体的体积。 八八. .（6 6 分）分）.设, 上连续函数( )f x是周期函数，周期为T，且 ( )0f x ，证明： 00 ( )( ) lim xT x f t dtf t dt xT 。 九九. .附加题（附加题（6 6 分）分）.设( )f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证 明：存在0,1，使得 1 0 11 ( )(0)(1)( ) 224 f x dxfff 。 4 北京邮电大学北京邮电大学 2015-20162015-2016 学年第一学期学年第一学期 数学分析数学分析 （上）考试卷参考答案（上）考试卷参考答案 考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效 一一. . 填空题（本大题共填空题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1. 设 22 0ac，则 2 0 sin(1 cos ) lim (1)ln(1) x x axbx c edx ; 填： a c 2. 0 2 0 1 |sin |arctan lim x x tdt t x _; 填： 4 3.设函数 3 2 1 1 t x e ydt t 的反函数为( )xg y，则(0) g _; 填： 2 3e 4. 设函数( )yy x由参数方程 2 0 ln(1) cos t xt yu du 确定，则 2 2 0t d y dx . 填：1 5. 曲线 1 x yxe 的斜渐近线方程为_； 填：1yx 6. sin sincos x dx xx _; 填： 1 (ln |sincos|) 2 xxxC 5 7. 3 2 42 0 sin (|sin|) cos2 x x dx xsin x . 填：4 8. 设( )f x连续，满足 0 ( )2( )21 x f xf t dtx ，则 1 0 ( )f x dx _; 填： 2 e 9. 2 ln e x dx x . 填： 2 e 10.设 2 11 () 23 xx yexe是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程 x yaybyce的一个特解，则：_. ( )3,2,1A abc ；( )3,2,1B abc ( )3,2,1C abc ；()3,2,1D abc 。 填：(A) 二二 （9 9 分分）. 求函数 arctan (1) x yxe的单调区间、极值；函数图形的拐点。 解：解： arctan 2 (1) 1 x xx ye x ，令0y ，1,0xx (2 分) 函数在(, 1) ，(0,)上单调增加；在( 1,0)上单调减少。(4 分) 函数在1x 处取极大值 4 2e ；函数在0x 处取极小值-1。(6 分) arctan 22 31 (1) x x ye x ，令0y ， 1 3 x ； 当 1 3 x 时，0y；当 1 3 x 时，0y ； 6 拐点 1 arctan3 14 (,) 33 e 。(9 分) 三三 （每小题（每小题 6 6 分，共分，共 1212 分）分）. （1）设函数( )yy x由方程 21 1 ln(1) y t edtx 确定，求 2 2 0x d y dx ； 解：解：对方程两边求导: 2 (1) 1 1 y ey x ， 2 (1) 1 1 y ye x ； 22 (1)(1) 2 11 2(1) (1)1 yy yeeyy xx (4 分) 当0x 时2y ； 0x ye ， 2 0 2 x yee 。(6 分) （2）设( )f x连续且(0)0f，求 1 2 0 0 0 () lim () x x xf xt dt t f xt dt 。 解：解： 原式= 00 00 000 ( )( ) limlim ( )( )( ) xx xxx xx xf u duxf u du xu f u duxf u duuf u du (3 分) 0 0 0 ( )( ) lim ( ) x x x f u duxf x f u du 0 ( )( ) lim2 ( ) x fxxf x fx ，(0x)(6 分) 四四.(8.(8 分分).).求出两个多项式( ),( )P xQ x，使得 432 (21)cos(831)sin ( )cos( )sinxxxxxx dxP xxQ xxC , 7 其中C为任意常数。 解：解： 左边= 42 (21)sin(31)sinxxxxxdx (3 分) 42 (21)sin(31)cos(23)cosxxxxxxxdx 42 (21)sin(31)cos(23)sin2sinxxxxxxxxdx 42 (21)sin(31)cos(23)sin2cosxxxxxxxxC 24 (31)cos(222)sinxxxxxxC 故 2 ( )31P xxx， 4 ( )222Q xxx。(8 分) 解法解法 2 由 432 ( )cos( )sin (21)cos(831)sinP xxQ xxxxxxxx得 4 ( )( )21P xQ xx， 32 ( )( )831Q xP xxxx；(4 分) 于是 2 ( )( )31P xP xxx，令 2 ( )P xaxbxc，代入得 22 231aaxbxcxx，1,3,1abc ； 故 2 ( )31P xxx， 4 ( )222Q xxx。(8 分) 五五.(8.(8 分分) ).设( )f x，( )g x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f，( )0fx， ( )0g x，证明：对0,1a ， 1 00 ( ) ( )( )( )( ) (1) a fx g x dxf x g x dxf a g 。 证明证明：令 1 00 ( )( ) ( )( )( )( ) (1) x F xf t g t dtf t g t dtf x g ；（2 分） ( )F x在0,1上有一阶连续导数，且 8 ( )( ) ( )(1)F xfx g xg；(4 分) 因为( )0fx，( )0g x，所以( )f x，( )g x在0,1上单调增加； 0,1x ，( )(1)g xg，从而( )0F x ，( )F x在 0,1上单调减少； 对0,1a ， 11 00 ( )(1)( ) ( )( )( )(1) (1)0F aFf t g t dtf t g t dtfg ； 即 1 00 ( ) ( )( )( )( ) (1) a fx g x dxf x g x dxf a g (8 分) 六六.(9.(9 分分) ).求微分方程 2 2sinyyyx的通解。 解 ：解 ： 对 应 的 齐 次 方 程20yyy的 特 征 方 程 2 20rr ， 12 1,2rr ，齐次方程的通解 2 12 xx yc ec e；（3 分） 方程 1 2 2 yyy的特解形式为 * 1 ya，代入得 1 4 a ； （5 分） 方程 1 2cos2 2 yyyx 的特解形式为 * 2 cos2sin2yAxBx， 代入得 ( 4 cos24 sin4 )( 2 sin22 cos2 )2(cos2sin2 )AxBxAxBxAxBx 1 cos2 2 x ； 1 62 2 AB ，260AB； 31 , 4040 AB ； * 2 31 cos2sin2 4040 yxx； 通解为 *2 1212 131 cos2sin2 44040 xx yyyyc ec exx 。 （9 分） 七七.(8.(8 分分) ). 已知曲线 x ye及其过原点的切线 L、y轴所围图形为 D，求 9 (1) 切线 L 的方程，图形 D 的面积； (2) 图形 D 绕直线1x 旋转一周所得旋转体的体积。 解：解：(1) 设切点 0 0, x x e 切线方程为 00 0 () xx yeexx，因为切线过原点，所以 0 1x 所以切线方程为(1)yee xyex；(2 分) 图形 G 的面积 1 0 ()1 2 x e eex dx (5 分) (2) 对任意 ,0,1x xdx，2 (1)() x dvx eex dx, 所求体积 1 0 2(1)() x vx eex dx 1 0 2(1) 3 x x e dxe 1 0 5 2 (2)|4 33 x x eee （8 分） 八八. .（6 6 分）分）.设, 上连续函数( )f x是周期函数，周期为T，且 ( )0f x ，证明： 00 11 lim( )( ) xT x f t dtf t dt xT 。 证明：证明：对任一正数, x存在非负整数n，使(1)nTxnT， 由( )0f x ， (1) 000 ( )( )( ) nTxnT f t dtf t dtf t dt ；(3 分) 于是 00 0 ( )(1)( ) 1 ( ) (1) TT x nf t dtnf t dt f t dt nTxnT ； 当x 时，n ，由夹逼性， 00 11 lim( )( ) xT x f t dtf t dt xT （6 分） 九九. .附加题（附加题（6 6 分）分）.设( )f x在0,1上二阶连续可导，且(0)(1)ff，证 明：存在0,1，使得 10 1 0 11 ( )(0)(1)( ) 224 f x dxfff 证 明 ：证 明 ： 令 0 ( )( ) x F xf t dt， 则( )F x在0,1上 三 阶 连 续 可 导 且 ( )( )F xf x，由 Taylor 公式，有 1 ( )11(0) 11 ( )(0)(0) 222!43!8 FF FFF ，其中 1 1 0, 2 ； 2 ()11(1) 11 ( )(1)(1) 22