南京市学度第一学期期末检测卷高一数学试卷以及答案解析.pdf

南京市南京市 20162017 学年度第一学期期末检测学年度第一学期期末检测 卷卷 高一数学高一数学201701 注意事项注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2 答题前， 请务必将自己的姓名、 学校、 班级、 学号写在答题卡的密封线内 试 题的答 案写在答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 一一、填空题填空题：本大题共本大题共 14 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡答题卡 相应位置相应位置 上上 1若集合 A1，0，1，2，Bx | x10，则 AB_ 2函数 ylog2(1x)的定义域为_ 3函数 f(x)3sin(3x 4)的最小正周期为 _ 4若角的终边经过点 P(5，12)，则 cos的值为_ 5若幂函数 yx(R)的图象经过点(4，2)，则的值为_ 6若扇形的弧长为 6cm，圆心角为 2 弧度，则扇形的面积为_cm2 7设 e1、e2是不共线的向量若向量 e14e2与 ke1e2共线，则实数 k 的值为 _ 8定义在区间0，5上的函数 y2sinx 的图象与 ycosx 的图象的交点个数为 _ 9 若 alog32， b20.3， clog1 5 2， 则 a， b， c 的大小关系用 “” 表示为_ 10若 f(x)2xa2 x是偶函数，则实数 a 的值为 _ 11如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点若AE DB2， 则AE BE的值为 _ 12已知函数 f(x)对任意实数 xR， f(x2)f(x)恒成立，且当 x1，1)时，f(x)2x+a若点 P(2017，8)是该函数图象上 的一点，则实数 a 的值为_ 13设函数 f(x) 5 x23x 22，则使得 f(1)f(log3x)成立的 x 的取值范围为 _ 14已知函数 f(x) x2m，xm， x，mxm， x2m，xm， 其中 m0若对任意实数 x，都有 f(x) f(x1)成立，则实数 m 的取值范围为_ 二二、解答题、解答题：本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分请在请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，作答，解答解答时时 应写出文字说明应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知 sincos sin2cos2 （1）求 tan； （）求 cos( 2) cos()的值 16 （本小题满分 14 分） E AB CD （第11题图） 已知向量 a(2，1)，b(3，4) （1）求(ab)(2ab)的值； （2）求向量 a 与 ab 的夹角 17 （本小题满分 14 分） 如图，在一张长为 2a 米，宽为 a 米(a2)的矩形铁皮的四个角上，各剪去一 个边长是 x 米(0x1)的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设 V(x)表示该铁盒 的容积 （1）试写出 V(x)的解析式； （2）记 yV(x) x ，当 x 为何值时，y 最小？并求出最小值 18 （本小题满分 16 分） （第 17 题图） 已知函数 f(x)Asin(x)( A0， 0， | 2)的最小正周期为， 且点 P( 6， 2)是该 函数图象的一个最高点 （1）求函数 f(x)的解析式； （2）若 x 2，0，求函数 yf(x)的值域； （3）把函数 yf(x)的图像向右平移(0 2)个单位，得到函数 yg(x)的图 象若函 数 yg(x)在0， 4上是单调增函数，求的取值范围 19 （本小题满分 16 分） 如图，在ABC 中，已知 CA1，CB2，ACB60 （1）求|AB |； （2）已知点 D 是边 AB 上一点，满足AD AB，点 E 是边 CB 上一点，满 足BE BC 当1 2时，求AE CD； 是否存在非零实数， 使得AE CD？若存在， 求出的值； 若不存在， 请说明理由 A C D E 20 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x)xa，g(x)a|x|，aR （1）设 F(x)f (x)g(x) 若 a1 2，求函数 yF(x)的零点； 若函数 yF(x)存在零点，求 a 的取值范围 （2） 设 h(x)f(x)g(x)， x2， 2 若对任意 x1， x22， 2， |h(x1)h(x2)|6 恒成立，试求 a 的取值范围 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分 10，1，22(，1)32 3 4 5 13 5 1 2 6 9 7 1 4 8 59 cab10 111 312 4 13(0，1 3)(3，) 14(0，1 4) 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分 15 解 ： （ 1 ） 因 为 sincos sin2cos 2 ， 化 简 得sin 5cos2 分 当 cos0 时不符合题意，所以 cos0， 所以tan 56 分 （2）cos( 2)cos() sincos8 分 sincos sin2cos2 tan tan21 12 分 5 26 14 分 16解： （1）因为 a(2，1)，b(3，4)， 所以a b(1，3)，2ab (7， 6)，4 分 所 以 (a b)(2a b) 1( 7) ( 3)6 256 分 （2）由（1）可知 ab(1，3)，且 a(2，1)， 所以|a|5，|ab|10，a(ab) 59 分 设向量 a 与 ab 的夹角为， 则cos a(ab) |a|ab| 2 2 11 分 因为0，所以3 4 ， 即向量a与ab的夹角为 3 4 14 分 17解：（1）依题意，yx(a2x)(2a2x)，x(0， 14 分 （2）y V(x) x (a2x)(2a 2x)6 分 4x26ax2a2 因 为 对 称 轴 x 3 4 a ， 且 a 2， 所 以 x 3 4 a 3 2 1，8 分 所以当x1，ymin46a 2a212 分 答 ： 当x 1时 ， y最 小 ， 最 小 值 为4 6a 2a214 分 18 解： （1）由 T2 ，得2 ，所以2 因为点 P( 6，2)是该函数图象的一个最高点，且 A0，所以 A 22 分 此时 f(x)2sin(2x) 又将点 P( 6，2)的坐标代入 f(x)2sin(2x)， 得 2sin( 3)2，即 sin( 3)1， 所 以 3 2k 2 ， k Z ， 即 2k 6 ， kZ4 分 又因为| 2，所以 6 综上，f(x)2sin(2x 6) 6 分 （ 2 ）因 为 x 2 ， 0 ， 所 以 2x 6 5 6 ， 6， 8 分 所以 sin(2x 6)1， 1 2，即 2sin(2x 6)2，1， 所以函数yf(x)的值域为2， 110 分 （ 3 ） y g(x) 2sin2(x ) 6 2sin(2x 2 6) 12 分 因为 0x 4，所以 622x2 6 2 3 2， 所以 622k 2， 2 3 22k 2， kZ， 解得k 12 k 3 ，k Z14 分 因 为0 2 ， 所 以k 0 ， 所 以 12 3 16 分 19解： （1）因为AB CB CA ， 2 分 所以AB 2(CBCA)2CB22CBCACA2222211 21 23， 所以|AB | 3 4 分 （2）解法 1： 当 1 2 时 ， AE 1 2 CB CA ， CD 1 2 ( CB CA ) 6 分 所以AE CD(1 2CB CA)1 2(CB CA)1 2( 1 2CB 21 2 CB CACA2) 1 2 ( 1 2 22 1 2 21 1 2 12) 1 4 8 分 假设存在非零实数，使得AE CD 因 为 BE BC ， 所 以 AE CE CA (1 ) CB CA 10 分 因为AD AB，所以CDCAADCAAB CA (CB CA )CB (1 )CA 12 分 所以AE CD(1)CBCACB(1)CA (1)CB 2(231)CBCA(1)CA2 (1)22(231)211 2(1)1 2 322 014 分 解得2 3或0 因为点在三角形的边上，所以0，1， 故存在非零实数 2 3 ，使得AE CD 16 分 解法 2： 由（1）得 CA1，CB2，AB 3，满足 CB2AB2CA2， 所以CAB90 如图，以 A 原点，AB 边所在直线为 x 轴，AC 边所在的直线 为 y 轴，建立平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B ( 3，0)，C(0，1)6 分 当1 2时，AE (3 2 ，1 2)，CD (3 2 ，1)， 则AE CD 1 4 10 分 假设存在非零实数，使得AE CD 因为AE ( 3(1)， )，CD( 3，1)， 所以AE CD322 0，14 分 解得0 或2 3 因为点在三角形的边上，所以0，1， 所以存在非零实数2 3，使得AE CD 16 分 20解： （1）F(x)f(x)g(x)xaa|x| 当 a1 2时，由 F(x)0，得 x 1 2 1 2|x|0 当 x0 时，x1 2 1 2x0，解得 x1，满足条件 当 x0 时，x1 2 1 2x0，解得 x 1 3，不满足条件 综上，函数yF(x)的零点是 12 分 F(x)0，则 xaa|x|0，即 a (1|x|)x 因为1|x|0，所以a x 1|x| 4 分 设(x) x 1|x|， 当 x 0 时 ， (x) x 1x 1 1 1x ， 所 以 (x) (0 ， 1)6 分 因为(x)(x)，所以(x)是奇函数， 所以当 x0 时，(x)(1，0) 又因为(0)0，所以当 xR，(x)(1，1)， 所以a(1， 1)8 分 （2）设函数 h(x)的最大值和最小值分别是 M，N 因为对任意 x1，x22，2，| h(x1)h(x2)|6 成立， 所以MN 610 分 解法 1：因为 h(x)f(x)g(x)xaa|x|，x2，2， 所以 h(x)xaa|x| (a1)xa，x0， (1a)xa，x0 当 a1 时， 因为 a10，所以 h(x)在(0，)单调增； 因为 1a0，所以 h(x)在(，0)单调减 因为 h(2)a2，h(2)a2，所以 h(2)h(2)， 所以 Mh(x)maxh(2)a2，Nh(x)minh(0)a， 所以 a2(a)6，解得 a2 又因为a1，所以1 a212 分 当 a1 时，h(x) 2x1，x0， 1，x0， 所以 Mh(x)maxh(2)3，Nh(x)min1， 所以 3(1)6 恒成立，所以 a1 符合题意 当1a1 时， 因为 a10，所以 h(x)在(0，)单调增； 因为 1a0，所以 h(x)在(，0)单调增 所以 Mh(x)maxh(2)a2，Nh(x)minh(2)a2， 所以(a2)(a2)46 恒成立，所以1a1 符合题意 当 a1 时，h(x) 1，x0， 2x1，x0， 所以 Mh(x)max1，Nh(x)minh(2)3， 所 以 1 ( 3) 46 恒 成 立 ， 所 以 a 1 符 合 题 意14 分 当 a1 时， 因为 a10，所以 h(x)在(0，)单调减； 因为 1a0，所以 h(x)在(，0)单调增 所以 Mh(x)maxh(0)a， 因为 h(2)a2，h(2)a2， 所以 h(2)h(2) ，所以 Nh(x)minh(2)a2， 所以a(a2)6，解得 a2 又因为 a1，所以2a1 综上，a的取值范围为2， 216 分 解法 2：因为 h(x)f(x)g(x)xaa|x|，x2，2， 所以 h(x)xaa|x| (a1)xa，x0， (1a)xa，x0 可知函数的图象是由两条折线段构成 所以函数的 M 和 N 分别为 h(2)2a，h(0)a，h(2)2a 三个 值当中的两个 显然 2a2a 当 a1 时，2aa；当 a1 时，2aa 当 a1 时，2aa；当 a1 时，2aa 所以，当 a1 时，M2a，Na，MN22a， 因 为 M N 6 ， 所 以 a 2 又 因 为 a 1 ， 所 以 1 a 212 分 当1a1 时，M2a，N2a，MN4 因 为 M N 6 恒 成 立 ， 所 以 1 a 1 满 足 条 件14 分 当 a1 时，Ma，N2a，MN22a 因为 MN6，所以 a2又因为 a1，所以2a1. 综上，a的取值范围为2， 216 分 解法 3：因为 h(x)f(x)g(x)xaa|x|，x2，2， 所以 h(x)xaa|x| (a1)xa，x0， (1a)xa，x0 当 0x2，h(x)(1a)xa 若 a1，则 1a0，所以 h(x)(1a)xa 是增函数 所以 h(x)maxh(2)2a，h(x)minh(0)a 若 a1，则 1a0，所以 h(x)(1a)xa 是减函数 所以 h(x)maxh(0)a，h(x)minh(2)2a 若 a1，h(x)1，所以 h(x)maxh(x)min1 当2x0，h(x)(1a)xa 若 a1，则 1a0，所以 h(x)(1a)xa 是增函数 所以 h(x)h(0)a，h(x)minh(2)2a 若 a1，则 1a0，所以 h(x)(1a)xa 是减函数 所以 h(x)m