实变函数期末复习资料试卷.pdf

（第 1页，共 24页） 安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期 实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一实变函数试卷一 专业_班级_ 姓名学号 注注 意意 事事 项项 1、本试卷共 6 页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。 一、单项选择题一、单项选择题（3 分5=15 分） 1、1、下列各式正确的是（） （A） 1 lim nk nnk n AA = = ;（B） 1 lim nk nk nn AA = = ; （C） 1 lim nk nnk n AA = = ;（D） 1 lim nk nk nn AA = = ; 2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是（） （A）=Pc(B)0mP=(C)PP= (D)PP= 3、下列说法不正确的是（） (A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测 4、设 ( ) n fx是E上的 . .ae有限的可测函数列,则下面不成立的是() 题号一二三四五总分 得分 得 分 考生答题不得超此线 （第 2页，共 24页） （A）若( )( ) n fxf x, 则( )( ) n fxf x(B)sup( ) n n fx是可测函数 （C） inf( ) n n fx是可测函数;（D）若( )( ) n fxf x,则( )f x可测 5、设 f(x)是,ba上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A)(xf在,ba上有界(B)(xf在,ba上几乎处处存在导数 （C）)( xf在,ba上 L 可积(D) = b a afbfdxxf)()()( 二二. .填空题填空题(3分5=15 分) 1、( )() ss C AC BAAB= _ 2、设E是 0,1 上有理点全体，则 E=_, o E=_,E=_. 3 、 设E是 n R中 点 集 ， 如 果 对 任 一 点 集T都 有 _，则称E是L可测的 4、)(xf可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分” ， “必要” ， “充要” ） 5、 设( )f x为 ,a b 上 的有 限函 数 ，如 果对 于 ,a b 的 一切 分划 ， 使 _, 则 称( )f x为 ,a b上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立三、下列命题是否成立? ?若成立若成立, ,则证明之则证明之; ;若不成立若不成立, ,则举则举 反例说明反例说明. .(5分4=20 分) 1、设 1 ER，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。 2、若0=mE，则E一定是可数集. 得 分 得 分 （第 3页，共 24页） 3、若|( )|f x是可测函数，则( )f x必是可测函数。 4设( )f x在可测集E上可积分，若,( )0xE f x ，则( )0 E f x 四、解答题四、解答题（8 分2=16 分）. 1、 （8分）设 2, ( ) 1, xx f x x = 为无理数 为有理数 ，则( )f x在 0,1 上是否R可积，是否L 可积，若可积，求出积分值。 得 分 （第 4页，共 24页） 2、 （8分）求 0 ln() limcos x n xn exdx n + 五、证明题五、证明题（6 分4+10=34 分）. 1、 （6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为c. 得 分 考生答题不得超过此线 （第 5页，共 24页） 2、 （6 分） 设( )f x是( ), + 上的 实值 连续函 数， 则对于 任意 常数 , |( )a Ex f xa=是闭集。 3、 （6 分）在 ,a b上的任一有界变差函数 ( )f x都可以表示为两个增函数之差。 4、 （6 分）设,( )mEf x，存 在闭子集FE ，使( )f x在F上连续，且()m EF=是一开集. 得 分 （第 11页，共 24页） 2.(6 分) 设0,GE开集使 *( )m GE，必存在 E上的连续函数 ( )x，使|( )( )| b a f xxdx=是一开集. 得 分 （第 17页，共 24页） 3、 （6 分）设( )f x是可测集E的非负可积函数，( )g x是E的可测函数，且 |( )|( )g xf x，则( )g x也是E上的可积函数。 4、 （6 分）设( )f x在E上积分确定，且( )( ) .f xg x ae=于E，则( )g x在E上 也积分确定，且( )( ) EE f x dxg x dx= （第 18页，共 24页） 5、 （10 分）设 在E上)()(xfxfn,而)()(eaxgxf nn =成 立, 2 , 1=n,则有)()(xfxgn 得分 阅卷人 复查人 （第 19页，共 24页） 安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院 第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期 实变函数试卷四实变函数试卷四实变函数试卷四实变函数试卷四 专业_班级_姓名学号 注注 意意 事事 项项 1、本试卷共 6 页。 2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。 一一. .单项选择题单项选择题（3 分5=15 分） 1设 P 为 Cantor 集，则 （A）=P0(B)1=mP(C)PP= (D)PP= 2. 下列说法不正确的是() (A) 0 P的任一领域内都有E中无穷多个点，则 0 P是E的聚点 (B) 0 P的任一领域内至少有一个E中异于 0 P的点，则 0 P是E的聚点 (C) 存在E中点列 n P，使 0n PP，则 0 P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3.设)(xf在E上L可积,则下面不成立的是() (A)(xf在E上可测(B)(xf在E上 a.e.有限 题号一二三四五总分 得分 得 分 考生答题不得超此线考生答题不得超此线 （第 20页，共 24页） (C)(xf在E上有界(D)(xf在E上L可积 4. 设 n E是一列可测集， 12n EEE，则有（）。 （A） 1 lim nn nn mEmE = (B) 1 lim nn nn mEmE = = （C） 1 lim nn nn mEmE = = ;（D）以上都不对 5.设)(xf为,ba上的有界变差函数,则下面不成立的是() (A)(xf在,ba上L可积(B)(xf在,ba上R可积 (C)( xf在,ba上L可积(D)(xf在,ba上绝对连续 二二. . 填空题填空题(3 分5=15 分) 1、设 11 ,2,1,2, n An nn =，则= n n Alim_。 2、设ER,若,EE则E是集；若 0 EE，则E是 _集；若 EE=，则E是_集. 3、设 i S是一列可测集，则 1 1 _ ii i i mSmS = = 4、 鲁津定理： _ _ 5、设( )f x为 ,a b上的有限函数，如果对于,a b的一切划分，使 _， 则称( )f x为,a b上的有界变差函数。 得 分 得分 阅卷人 复查人 （第 21页，共 24页） 三三. .下列命题是否成立下列命题是否成立? ?若成立若成立, ,则证明之则证明之; ;若不若不 成立成立, ,则说明原因或举出反例则说明原因或举出反例. .(5 分4=20 分) 1、A 为可数集，B 为至多可数集，则 AB 是可数集. 2、若0=mE，则0=Em. 3、若|( )|f x是可测函数，则( )f x必是可测函数 4设( )f x在可测集E上可积分，若 , ( )0xE f x ，则( )0 E f x 得 分 （第 22页，共 24页） 四四. .解答题解答题(8 分2=16 分) 1、 设 , ( ) 1, x x f x x = 为无理数 为有理数 ， 则( )f x在 0,1 上是否R可积，是否L 可积， 若可积，求出积分值。 2、 （8分）求 0 ln() limcos x n xn exdx n + . 得 分 （第 23页，共 24页） 五五. .证明题证明题(6分3+8 2=34 分) 1、 （6 分） 设( )f x是( ), + 上的 实值 连续函 数， 则对于 任意 常数 , |( )a Ex f xa=是闭集。 2.(6 分) 设0,GE开集使 *( )m GE，则 E 是可测集。 3. （6 分）设)(xfn为 E 上可积函数列，eaxfxf n n .)()(lim=