高考数学复习点拨用导数求切线方程的四种类型.pdf

用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点 00 ()P xy，及斜率，其求法为：设 00 ()P xy，是曲线( )yf x上的一点，则以P的切点的切线 方程为： 000 ()()yyfxxx若曲线( )yf x在点 00 ()P xf x，的切线平行于y轴（即导 数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 0 xx 下面例析四种常见的类型及解法 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数( )fx，并代入点斜式方程即可 例 1 曲线 32 31yxx在点(11)，处的切线方程为（ ） 34yx 32yx 43yx 45yx 解：由 2 ( )36fxxx则在点(11)，处斜率(1)3k f ，故所求的切线方程为 ( 1)3(1)yx ，即32yx ，因而选 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决 例 2 与直线240xy的平行的抛物线 2 yx的切线方程是（ ） 230xy 230xy 210xy 210xy 解：设 00 ()P xy，为切点，则切点的斜率为 0 0 22 x x yx | 0 1x 由此得到切点(11)，故切线方程为12(1)yx ，即210xy ，故选 评注： 此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用法加以解决， 即设切线方程为2yxb， 代入 2 yx，得 2 20xxb，又因为0 ，得1b ，故选 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 例 3 求过曲线 3 2yxx上的点(11)，的切线方程 解：设想 00 ()P xy，为切点，则切线的斜率为 0 2 0 32 x x yx | 切线方程为 2 000 (32)()yyxxx 32 0000 (2)(32)()yxxxxx 又知切线过点(11)，把它代入上述方程，得 32 0000 1 (2)(32)(1)xxxx 解得 0 1x ，或 0 1 2 x 故 所 求 切 线 方 程 为(12)(32)(1)yx， 或 131 12 842 yx ， 即 20xy，或5410xy 评注：可以发现直线5410xy 并不以(11)，为切点，实际上是经过了点(11)，且以 1 7 2 8 ，为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用 待定切点法 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解 例 4 求过点(2 0)，且与曲线 1 y x 相切的直线方程 解：设 00 ()P xy，为切点，则切线的斜率为 0 2 0 1 x x y x | 切线方程为 00 2 0 1 ()yyxx x ，即 0 2 00 11 ()yxx xx 又已知切线过点(2 0)，把它代入上述方程，得 0 2 00 11 (2)x xx 解得 00 0 1 11xy x ，即20xy 评注：点(2 0)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充 分反映出待定切点法的高效性 例 5 已知函数 3 3yxx，过点(016)A ，作曲线( )yf x的切线，求此切线方程 解：曲线方程为 3 3yxx，点(016)A ，不在曲线上 设切点为 00 ()M xy， 则点M的坐标满足 3 000 3yxx 因 2 00 ()3(1)fxx， 故切线的方程为 2 000 3(1)()yyxxx 点(016)A ，在切线上，则有 32 0000 16(3)3(1)(0)xxxx 化简得 3 0 8x ，解得 0 2x 所以，切点为( 22)M ，切线方程为9160xy 评注：此类题的解题