初中数学几何证明经典试题含答案.pdf

第 1 页 共 15 页 初 中 几 何 证 明 题初 中 几 何 证 明 题 经 典经 典 题（一）题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA150 求证：PBC 是正三角形 3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、 CC1、DD1的中点 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形 4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENF A P C D B A F G C E B OD D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B 第 2 页 共 15 页 P C G F BQ A D E 经 典经 典 题（二）题（二） 1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M （1）求证：AH2OM； （2）若BAC600，求证：AHAO 2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ 4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 A D H E M C B O G A O D B E C QP NM O Q P B D E C N M A 第 3 页 共 15 页 经 典经 典 题（三）题（三） 1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF 2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证：AEAF 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分DCE 求证：PAPF 4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：ABDC，BCAD D A F D E C B E DA C B F F EPC B A ODB F A E C P 第 4 页 共 15 页 经 典经 典 题（四）题（四） 1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB 的度数 2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD 4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPADPC A P CB P A D CB C B D A F P D E CB A 第 5 页 共 15 页 经 典 难经 典 难 题（五）题（五） 1、 设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC， 求证：L2 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 4、如图，ABC 中，ABCACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA300， EBA200，求BED 的度数 A P CB A C B P D E D CB A A C B P D 第 6 页 共 15 页 经 典经 典 题（一）题（一） 1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。 2. 如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边，从而可得 DGCAPDCGP,得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300，从而得出PBC 是正三角形 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点， 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E= 1 2 A1B1= 1 2 B1C1= FB2，EB2= 1 2 AB= 1 2 BC=FC1，又GFQ+Q=900和 GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2， 可得B2FC2A2EB2，所以 A2B2=B2C2， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2, 从而可得A2B2C2=900， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。 第 7 页 共 15 页 4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F，QNM= DEN 和QMN=QNM，从而得出DENF。 经 典经 典 题（二）题（二） 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF, 又F=ACB=BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。 第 8 页 共 15 页 3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG =， 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ= 2 EGFH+ 。 由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。 从而可得PQ= 2 AIBI+ = 2 AB ，从而得证。 第 9 页 共 15 页 经 典经 典 题（三）题（三） 1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。 推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得AEC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。 2.连接 BD 作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150， 第 10 页 共 15 页 又FAE=900+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出 AE=AF。 3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。 令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF= X Y = Z YXZ-+ ，可得 YZ=XY-X2+XZ， 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABPPEF ， 得到 PAPF ，得证 。 经 典 难经 典 难 题（四）题（四） 1. 顺时针旋转ABP600，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。 可得PQC 是直角三角形。 所以APB=1500。 第 11 页 共 15 页 2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。 可得BAP=BEP=BCP，得证。 3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： BE BC = AD AC ，即 ADBC=BEAC， 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 AB AC = DE DC ，即 ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。 第 12 页 共 15 页 4.过 D 作 AQAE ，AGCF ，由 ADE S= 2 ABCD S = DFC S，可得： 2 AE PQ = 2 AE PQ ，由 AE=FC。 可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理） 。 经 典经 典 题（五）题（五） 1.（1）顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 L=； （2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。 由于APDATP=ADP， 推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ； 由（1）和（2）既得：L2 。 第 13 页 共 15 页 2.顺时针旋转BPC 600，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。 既得 AF= 2 13 (1) 42 +=23+= 42 3 2 + = 2 ( 31) 2 + = 2 ( 31) 2 + = 62 2 + 。 第 14 页 共 15 页 3.顺时针旋转ABP900，可得如下图： 既得正方形边长 L = 22 22 (2)() 22 a+=52 2 a+。 第