苏州市上学期期末考试高三数学含答案.pdf

苏州市 2016 届上学期高三期末调研试卷2016.1.15 数学 I （试题） 注意事项： 1. 本试卷共 4 页满分 160 分，考试时间 120 分钟 2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效 3. 答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置 一. 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在 . 答 . 题 . 卡 . 相 . 应 . 位 . 置 . 上 1. 已知全集 =| 2, N，集合 =|2 5, N，则 = （用列 举法表示） 答案：2 建议解法： 由补集的定义，得 2, 2 0 ? 的值域为 答案：(,1 建议解法： 画出函数 () 的图象即可 8. 连续 2 次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6） ，则事件“两次向上的数字之和等于 7” 发生的概率为 答案：1 6 建议解法： + = 7 有 6 组解 9. 将半径为 5 的圆分割成面积之比为 1 2 3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面 半径依次为 1,2,3，则 1+ 2+ 3的值为 答案：5 建议解法： 由 1 + 2 + 3 = 2，得 1+ 2+ 3= ，本题中， = 5 10. 已知 是第三象限角，且 sin 2cos = 2 5，则 sin + cos 的值为 答案：31 25 建议解法： 观察得 sin = 4 5，cos = 3 5 满足方程，但此时 是第一象限角，不合题意 由 sin 2cos = 2 5, sin2 + cos2 = 1, ? 得 5cos2 8 5 cos 21 25 = 0，解得 cos = 3 5 或 7 25 因为 是第三象限角，所以 cos = 7 25，从而 sin = 24 25 11. 已知是等差数列，5= 15，10= 10，记数列的第 项到第 +5 项的和为 ，则|取 得最小值时的 的值为 高三数学 I第 2 页（共 8 页） 答案：5 或 6 建议解法： 首先得 = 5 + 40，+5= 5 + 15，= 6(+ +5) 2 = 15(11 2) 当 11 2 = 1 时，即 = 5,6 时，|取最小值 15 12. 若直线 1： = + 和直线 2： = + 将圆 (1)2+(2)2= 8 分成长度相等的四段弧，则 2+2 的值为 答案：18 建议解法： 圆心 (1,2) 到直线 1,2的距离均为 2 2 = 2 由 | 1| 2 = 2，得 | 1| = 22，同理 | 1| = 22 不妨取 = 1 + 22， = 1 22，所以 2+ 2= 18 13. 已知函数 () = |sin| （ 0， R）有且只有三个零点，设此零点中的最大值为 0，则 0 (1 + 2 0)sin20 的值是 答案：1 2 建议解法： 由 = |sin|（ 0）和 = 的图象可知， 直线 = 与曲线 = sin（ ,2）相切，切点横坐标为 0 所以 sin0= 0, cos0= , ? 得 0= tan0，所以 0 (1 + 2 0)sin20 = 1 2 14. 已知 = 1 4，, (0,1)，则 1 1 + 2 1 的最小值为 答案：4 + 4 3 2 建议解法： 首先 (1 4,1)，消去 ，得 1 1 + 2 1 = 1 1 + 8 4 1 = 1 1 + 2 4 1 + 2 方法一： 记 = 1 1 + 2 4 1 = 4 4 4 + 2 4 1 = 1 3(4 4) + (4 1) 4 4 4 + 2 4 1 = 2 + 2 3 4 4 4 1 + 2(4 1) 4 4 2 + 4 32，等号能取到 说明： 一般地，若常数 , R+，变量 , R+，则 ( + )( + ) ( + )2 若不等式左边有一个因式是常数，则可求另一个因式的最小值 方法二： 1 1 + 2 4 1 = 2 + 1 (1 )(4 1)，令 2 + 1 = ， 高三数学 I第 3 页（共 8 页） 二. 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 . 答 . 题 . 卡 . 指 . 定 . 区 . 域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 15.（本小题满分 14 分） 在 中，三个内角 , 所对的边分别为 ,，且满足 cos + cos = 2cos (1) 求角 的大小； (2) 若 的面积为 23，且 + = 6，求边 的长 解： (1) 在 中，由正弦定理，得 cos + cos = sincos + sin cos sin = sin( + ) sin = sin( ) sin = 1，. 3 分 所以 cos = 1 2 . 5 分 因为 (0,)，所以 = 3 7 分 说明： 三角形射影定理： = cos + cos (2) 由 (1) 知，= 1 2sin = 3 4 = 23，所以 = 8 10 分 由余弦定理，得 2= 2+ 2 = ( + )2 3 = 36 24 = 12. 13 分 因为 0，所以 = 23. 14 分 16.（本小题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 1111中，, 分别是 , 的中点， 11与 11相交于点 (1) 求证：1,1, 四点共面； (2) 若底面 是菱形，且 1，求证： 平面 11 1 1 1 1 证明： (1) 连结 因为 , 分别是 , 的中点，所以 在直四棱柱 1111中，11是矩形，所以 11 所以 11 所以 ,11共面，得 1,1, 四点共面 (2) 若底面 是菱形，则底面 1111也是菱形，得 11 1 在直四棱柱 1111中，由 1 底面 1111，得 1 11 因为 1 1 = 1，1,1 平面 1，所以 11 平面 1 因为 平面 1，所以 11 又因为 1，1 11= 1，1,11 平面 11， 所以 平面 11 高三数学 I第 4 页（共 8 页） 17.（本小题满分 14 分） 图 1 是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图 2 所示，其中 为半圆弧 的中点，渠宽 为 2 米 (1) 当渠中水深 为 0.4 米时，求水面的宽度； (2) 若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改 挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？ 解： (1) 如图，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，以 1 米为单位长度，建立平面直角坐标系 半圆弧 的方程为 2+ 2= 1（ 0） ， 3 分 (1,0)，(1,0)，(0,1)，(0,0.6) 直线 = 0.6 与半圆弧的交点为 (0.8,0.6) 5 分 答：所求的水面宽度为 1.6 米. 6 分 (2) 首先，要使得所挖出的土量最少，则等腰梯形的两腰及下底与半圆弧 相切. 7 分 设等腰梯形的右腰与半圆弧 相切于点 (0,0)，其中 0 () (4) 0 14 分 综上所述，1 2 3 4，且 4 5 0 时 () 0 综上所述，函数 () 的递减区间是 (,0，递增区间是 0,+) 4 分 (2) 若存在实数 ，满足 () e(2 1) 有解 显然 = 1 不是不等式的解， 所以 e(2 1) 1 在 1 时有解. 6 分 记 () = e(2 1) 1 = e(2 + 1 1)，其中 0 则 () = e(2 + 1 1 1 ( 1)2 ) = e (2 3) ( 1)2 可得 () 在 (,0 上递增，在 0,1) 上递减，在 (1, 3 2 上递减，在 3 2,+) 上递增 所以 () 在 (,1) 上的最大值为 (0) = 1，在 (1,+) 上的最小值为 (3 2) = 4e 3 2 所以 4e 3 2，即实数 的取值范围是 (,1) (4e 3 2,+) 9 分 由可知，若 4e 3 2，则 = () 有两解 3,4，且 1 () 的解集为 (3,4)，唯一整数 0= 2，所以 2 0） (1) 求证：() 2； (2) 若 (3) 0， 所以 () = | + 1 | + | | |( + 1 ) ( )| = 1 + 2. 4 分 (2) (3) 0, ? 或 3, 2 5 + 1 0, ? 解得 1 + 5 2 3 或 3 5 + 21 2 8 分 所以正实数 的取值范围是 (1 + 5 2 , 5 + 21 2 ) 10 分 高三数学 II（附加题）第 2 页（共 4 页） 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 . 答 . 题 . 卡 . 指 . 定 . 区 . 域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中 , 三种商品有购买意向已知该网 民购买 种商品的概率为 3 4，购买 种商品的概率为 2 3，购买 种商品的概率为 1 2假设该网民是 否购买三种商品互相独立 (1) 求该网民至少购买 2 种商品的概率； (2) 用随机变量 表示该网民购买商品的种数，求 的概率分布和数学期望 解： (1) 该网民恰好购买 2 种商品的概率为 () + () + () = 3 4 2 3 1 2 + 3 4 1 3 1 2 + 1 4 2 3 1 2 = 11 24； 2 分 该网民恰好购买 3 种商品的概率为 () = 3 4 2 3 1 2 = 1 4 4 分 答：该网民至少购买 2 种商品的概率为 17 24 5 分 (2) 随机变量 的可能取值为 0,1,2,3 由 (1) 知，( = 2) = 11 24，( = 3) = 1 4， 而 ( = 0) = () = 1 4 1 3 1 2 = 1 24， 所以 ( = 1) = 1 ( = 0) ( = 2) ( = 3) = 1 4 随机变量 的概率分布为 0123 1 24 1 4 11 24 1 4 . 8 分 随机变量 的数学期望 = 0 1 24 + 1 1 4 + 2 11 24 + 3 1 4 = 23 12 . 10 分 高三数学 II（附加题）第 3 页（共 4 页） 23.（本小题满分 10 分） 如图，由若干个相同的正方形组成的一个 层三角形图阵，第一 层有 1 个正方形，第二层有 2 个正方形，依次类推，第 层有 个 正方形除去最底下的一层，每个正方形都放置在它的下一层的 两个正方形之上现对第 层的每个正方形用数字进行标注，从 左到右依次记为 1,2,，其中 0,1（1 ） ， 其它 层的正方形标注的数字是它下面两个正方形标注的数字之和，依 此规律，记第一层的正方形标注的数字为 0 第 1 层 第 2 层 第 3 层 第 4 层 第 1 层 第 层 (1) 当 = 4 时，若要求 0是 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法？ (2) 当 = 11 时，若要求 0是 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法？ 解： (1) 当 = 4 时，第 4 层标注的数字依次为 1,2,3,4； 第 3 层标注的数字依次为 1+ 2,2+ 3,3+ 4； 第 2 层标注的数字依次为 1+ 22+ 3,2+ 23+ 4； 所以 0= 1+ 32+ 33+ 4. 2 分 因为 0是 2 的倍数，0,1，所以 1,2,3,4中取值为 1 的个数为偶数个 其不同的取法总数为 C0 4 + C2 4 + C4 4 = 8 答：所求的不同的标注方法有 8 种 4 分 (2) 当 = 11 时，第 11 层标注的数字依次为 1,2,3,4,10,11； 第 10 层标注的数字依次为 C0 1 + C1 1+1， = 1,2,10； 第 9 层标注的数字依次为 C1 1+(C 0 1+C 1 1)+1+C 1 1+2 = C0 2+C 1 2+1+C 2 2+2， = 1,2,9； 依此规律，第 1 层标注的数字为 0= C0 101 + C1 102 + + C9 1010 + C10 1011 6 分 计算，得 C0 10 = C10 10 = 1，C1 10 = C9 10 = 10，当 = 2,3,4,8 时，C 10 均是 3 的倍数 若要求 0是 3 的倍数，等价于 1+ 2+ 10+ 1