数学毕业论文-整体思维在数学中的解题应用.docx

摘 要： 本文探讨了整体思想的意义,并通过论述整体思想即整体代入、整体定位、整体转化、整体配对等思想方法在数学解题中的应用,培养学生从整体上把握问题的能力.关键词：整体思维,数学解题,应用abstract: this paper explores the thinking of the overall significance, and adopted on behalf of the whole thinking of the overall income, the overall positioning, the overall transformation, such as matching the overall way of thinking in the application of mathematical problem solving, training students from the grasp of the overall capacity.key words： overall thinking, mathematical problem-solving, application目 录1 引言 4 2整体思想的意义 4 2.1整体思想的某些数学方法的特征 4 2.2整体思想的某些数学美的特征 42.3整体思想的某些辨证思想的特征 53整体思想在解题中的应用 53.1 整体代入 53.2整体定位 63.3整体转化 73.4整体完善 73.5整体配对 93.6整体观察 9结论 11参考文献 111引言现实世界是错综复杂的.相应地,有的数学问题中的关系也很复杂,我们常常陷于一些无关全局的细微末节,不易寻找解决问题的途径.但如果树立整体处理的思想,从总体上、宏观上处理问题,避免“只见树木,不见森林”的局限性,常易于找到解决问题的关键.2 整体思想的意义整体思想作为一种常用的解题思想方式,了解其在方法论上的意义和特点,对开拓解题思路,活跃解题思维有着积极的意义.2.1 整体思想的某些数学方法特征一个数学问题经过整体思维方法的处理后,变成了另外一个新的问题,其变化的过程中体现了一些数学思想其一,新的问题比原问题要简单、容易,并为我们所熟悉,体现了由未知到已知、由难到易、由繁到简的化归思想.事实上,整体思想的解题方法应属于化归法的范畴,如“整体配对”等是化归法中求变法的一种.其二,整体思维与人们习惯的将问题分解为若干简单的小问题后,再对其各个处理的解题思想不同,它是将考察问题的“视角”放大,通过对问题的整体形式、整体结构以及问题的条件与结论在其中的地位和作用的调节与转化,以得到易于处理的新问题.整体思维体现了从全局的观点出发研究问题的数学心理活动.其三,运用整体思想解题,新问题的表现形式或处理方式通常与原问题有较大不同.这种不同在一定程度上反映了数学抽象的思想抽象出隐含的关系.2.2 整体思想的某些数学美的特征 任何数学思想方法都蕴藏着数学美的因素.整体思想作为一种重要的解题策略为我们所重视,正由于它具有数学美的特征.数学美的主要特征之一是简单性.这种简单性通常表现在数学结构、数学方法和数学形式等方面的简化.从应用整体思想处理问题的过程,容易发现这种简单美的存在.事实上,我们在应用“整体配对”时,就是利用与其相匹配的另一个整体对原问题进行“补缺”而得到结构形式更为简单的新问题.在应用“整体代入”处理问题时,即对原问题局部施行“积零为整”的处理,使其形式和方法变简单.数学美的另一主要特征是对称性.在应用整体思想时,数学的对称美也有充分的展示,容易看到,在应用“整体配对”时,如何“配对”以及应“配”些什么,都是在对称性的引导下进行的.2.3 整体思想的某些辩证思想特征 将哲学中的辩证法应用到数学思维方法上,对我们深入了解数学的实质,特别是了解与掌握数学思想方法,提高解决数学问题的能力,是十分重要的.整体思想蕴涵着某些常见的辩证思想.例如,“整体配对”的方法体现出的整体与局部辩证,思想是十分明显的,其间的“整体”在原问题中是整体而在新问题中却是局部,这种整体与局部的角色变换就是辩证思想的体现.了解了整体思想在方法论上的意义和特征后,我们会认识到研究某些数学问题时,作整体考察是必然的.我们将着眼点放在问题的整体上,全面收集和获取信息,将局部的认识统一起来,从总体上把握事物的规律.这样能拓宽思路、开阔眼界、抓住本质,洞察整体与个体的关系,从而一举解决问题.但有时也要对问题的某一特殊组成部分进行有意识地放大,再视为新的“整体”,通过研究这个问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后,达到顺利而后简捷地解决问题的目的.因此,这就要求我们充分挖掘整体因素,积极进行思维训练.本文现根据实践经验,介绍以下几种运用整体思想在解题中的具体方法.3 整体思想在解题中的应用3.1 整体代入 在解决一些问题时,往往需要把一些组合式子视为一个“整体”,并把它直接代入另一式,以避免局部运算的麻烦和困难,这就是整体代入.例1 如果是方程的根.试求：的值.分析 此题可以解出方程的根得出的值,但是会有两带根号的值再带入后面要求解的式子会含有根式的高次方,在初高中会很烦琐.而由题意,得, 及,将它们分别代入,则问题易解.解 因是方程的根,得,即,所以 =例2 长方体的全面积为11,十二条棱长之和为24,则这个长方体的一条对角线长为多少?分析 可以设长方体的长、宽、高分别为, ,对角线长为,由题意,得,这里如果想求出xyz的值显然是不可能的,所以只能用整体带入的方法求解=.整体代入思想处理问题时,即对原问题尾部施行“积零为整”的处理,使其在形式和方法上简单化.3.2 整体定位 把所求式的值或某些量的组合确定为一个“字母”后,问题便转化为对这个“字母”的研究,往往会收到理想的效果. 例3 一个六位数,若将它的末位数字移到首位,所得的新数是原数的5倍,求这个六位数. 分析 按常规,本题难下手,若将末位数字单列,其余视为整体,则问题简化.解 设六位数中的前五位数为,末位数字为,由题意,得, 即, , 因为 14285不能被7整除，所以 必为7的倍数,又为数字,由题意,得,故.因此,这个六位数为142857. 例4 已知一个六位数等于另一个六位数,求的值.解 虽然六位数中有6个数码,但这里可设,其中,.这里不是个别地考虑每位数码,而是将它们分成四个或两个形式的整体进行考虑. 由条件,即 ,可设,由,的范围知,相应的原数是142857,190476,238095.这三个数的6个数码之和均为27.3.3 整体转化 把求解问题看成是一个整体,设法将整个问题转化为一个较简单、熟悉的问题,以达到化难为易的目的.例5 已知异面直线与所成的角为,为空间一定点,则过点且与,所成的角都为的直线有且仅有几条?分析：本题对空间想象能力的考查要求高,条件分散,不易解决.若将本题转化为另一同解题：两直线,相交于点,且所成角为,则过点且与,所成角都为的直线有且仅有几条?问题一下变得简单,易知答案是两条.例6 已知集合和集合各含有12个元素,含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合的个数：(1),且中含有3个元素；(2).分析 此题用抽象的集合符号表示,给解题带来了一定困难.但注重到题设条件和所求结果,本题可以转化为一同解的熟悉题：某零件20只,其中合格品12只,现抽取3只,问至少有一只合格品的抽法有多少种?由后一题,易得结果种,即满足条件的集合的个数是1084.事实上,整体转化就是将较难理解的问题转化成一些我们所熟悉的模式,从而简化解题过程,但要注意一定要是等价转化3.4 整体完善在几何的研究中,大多习惯在形内添加辅助线,以助解题.但若能向形外添加补助线,使之转化成一个完整的特殊图形,以显露出隐含条件,从而使问题获解.例7 已知是的的平分线,垂直于的延长线于,是的中点.求证：.分析 如图1,图形为一凸五边形,为我们所不熟悉.由为的平分线,易想到凹五边形是等腰的一部分.补形后,作为中点也显露无遗,问题顺利解决.证明 延长,相交于点,因为 平分,所以 是等腰三角形,即,且为上的中线.而 为的中点,而为的中点,则 为的中位线,所以 , 即.例8 已知六边形,它的六个内角都是120,且,求这个六边形的周长. 分析 如图2,由内角为,不难发现有两条路可走,一是延长、构成平行四边形；二是双向延长、构成等边三角形.解法一 延长、相交于点,延长、相交于点.则有、为等边三角形及平行四边形.所以 ,故六边形的周长为15.解法二 如图3,双向延长、,它们分别相交于、三点,则有、为等边三角形,易求,故六边形的周长为15.整体完善主要应用在几何学中,通过对应问题中图形的补助成为一个我们所熟悉的图形,从而显露出隐含条件,优化解题3.5 整体配对对有的数学问题,根据式子本身的特点,相应地配出与之对称的式子,以使解题简便.例9 求的值.解 设, ，所以 (1) (2)(1)+(2)得 .例10 求函数 的最小值.解 设, ，则 (3) (4)(3)+(4)得 ,即,于是,故.事实上,整体配对是化归中求变法的一种,我们在应用整体配对时,就是利用与其相匹配的另一个整体对应问题进行补缺,而得到结构形式更为简单的新问题.3.6 整体观察在审题时,从整体着眼去观察问题的结构,从而制定出合理的解题方案.例11 对所有实数,不等式0恒成立,求的取值范围.分析 观察题设不等式的整体结构可以发现,式中三个对数可以转化为同一形式,因此,可变形化简原不等式.解 将原不等式进行变形,得,即.这个不等式对所有实数恒成立的充要条件是：即,故的取值范围是(0,1). 例12 已知, ,求的值.分析 观察已知等式和待求值式,不难发现能否求是解题的关键.解 由已知得：，两式相除,得, 所以 =. 整体观察解决问题的关键在于能够正确的找出问题题设与所求之间的内在联系,并利用这些联系,找到解题的关键,从而正确的解题.结 论整体思想是体现数学辩证思维特性的一种数学观念.应用整体思想在解决问题时,通常需要将处理的问题或问题的某个局部看成一个整体,通过对这个整体的形式、结构、特征,以及问题的条件和欲求的结论在这个整体中的地位和作用的分析研究,以达到问题得以解决的目的.这种处理问题的思维方法,往往可使学生站得高,看得远,及时发现处理问题的途径.在数学学习中,注重整体思想的学习,对培养学生解决数学问题的能力有着积极的意义.为此,在实际教学中,我们应注意有目的有计划地结合解题,逐步培养学生的整体意识,以达到提高解题能力的目的.参 考 文 献（1