2012GCT入学资格考试(线代、几何、初代、算术).ppt

第五部分 线性代数 第一节 行列式 考试要求 行列式，行列式的概念和性质，行 列式按行展开定理，行列式的计算 内容综述 一、行列式及有关概念 1、定义： 特征：方形数阵，两边加上 ；或行列式是对 个数所作特定运算的记 号，结果是一个数。 元素 aij 的代数余子式： 元素 aij 的余子式： ，去掉 aij 所在的 i 行，j 列剩下的元素按原来的次序 组成的n-1阶行列式 主对角线：（行列式中从左上角到右下角的对角线） 2、特殊行列式 上、下三角行列式，行列式 D 的转置行列式 DT （由D的行换成列， 列换成行所得， DT 与 D 成对出现）。 注意：对角与上、下三角行列式值是主对角线元素乘积。 二、行列式的性质 1、行列互换，行列式的值不变，即 D = DT ； 2、两行（或两列）互换，行列式的值变号； 3、某一行（或某一列）的公因子，可提到行列式之外； 4、按某一行（或某一列）拆开，原行列式是两个特定行列式之和； 5、一行（或一列）的倍数加到另一行（或另一列），行列式的值不变； 6、行列式等于其任一行（或一列）的元素乘以该行（或列）元素的相应 的代数余子式的和；即 7、行列式中某一行（或某一列）元素与另一行（或列）对应元素的代数 余子式之和为零 8、行列式有零行（或列），行列式的值为零。反之如何？ 9、两行（或两列）对应元素相等（或成比例)，行列式的值为零。反之如 何？ 三、行列式的计算 总体思路：根据行列式特点，运用性质将行列式恒等变形，化成上（下 ）三角或某行（或列）除一个元素外其余均为零。 1、用定义公式； 2、按行（或列）展开：用性质6； 3、先做变换：初等变换、逐行相加减、拆项、递推关系等； 4、重要关系式： （A，B分别为m，n阶矩阵） 例1 计算D= 例2 证明 = 例3 a,b为何值时，三阶行列式 例4 设A为n阶矩阵，且A=0，则矩阵A中 （A）必有一行元素全为零； （B）必有两行元素对应成比例 ； （C）必有一行向量是其余行向量的线性组合； （D）任意行向量必是其余行向量的线性组合。 第二节 矩阵 考试要求 矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵，矩阵的初等变换。 内容综述 一、矩阵的概念（本质上是数表） mn 矩阵、零矩阵、同型阵、矩阵相等、对角阵、数量 阵、单位阵、三角阵、(转置矩阵、对称阵、反对称阵)。 二、矩阵的运算 1、加法（注意同型矩阵才可相加）； 2、数乘（注意每一元素都乘该数）； 3、乘法（注意左矩阵列数等于右矩阵行数）； 4、转置 定义: A的行换成相应的列所得矩阵, 称为A的转置, 记为AT ； 性质： 5、方阵的行列式 三、逆矩阵 1、定义：A为n阶方阵，若有n阶方阵B，使得 ， 则称A可逆。A的逆记为A-1。即 可逆矩阵也称为非奇异矩阵，非退化矩阵。 2、方阵A可逆的充要条件：A可逆 ； 3、伴随矩阵： 4、逆矩阵的性质： 5、逆矩阵的求法： 利用伴随矩阵； 利用定义； 利用性质；初等行变 换 四、初等行变换 1、定义 2、初等行变换求逆矩阵 五、矩阵的秩 1、定义 2、计算 3、相关结论 例1 设 ， ， 且A=2， B=3，求BC 例2 设A是mn 矩阵，B是nm矩阵，则 （A）当mn时，必有行列式AB=0； （B）当mn时，必有行列式AB0； （C）当nm时，必有行列式AB=0； （D）当nm时，必有行列式AB0。 例3 设 例4 设n阶矩阵A满足 ，证明A 及 A+2E 都可逆 ，并求 及 例5 设 A是四阶矩阵，E是四阶单位阵， 存在，且 ，则 = （A） （B）E+A （C） （D）不存在 例6 设A是3阶矩阵， ，求 第三节 向量 考试要求 n维向量， 向量组的线性相关和线性无关，向量 组秩和矩阵秩的关系。 内容综述 一、n维向量的概念与运算（与矩阵有关运算类似） 1、n维向量：n个有顺序的数组成的数组（有序数组）称为向 量。记为 n维行向量，n维列向量，零向量，负向量 2、向量相等 ：同维，分量对应相等； 3、向量加法 ：同维，分量对应相加； 4、向量数乘 k (k为常数)：每一分量都乘以该数； 5、向量点积 ：(分量表示为) ，其 中 ， 6、向量运算的性质 (加法和数乘的线性运算)。 二、向量组的线性相关和线性无关 1、线性表出定义 2、向量组的线性相关和线性无关 3、常用相关结论： 一个向量 的向量组线性相关 ； 两个同维向量 的向量组线性相关 ； n维向量组 线性相关 中至少有一个向量可由其余s-1个向量组线性表出； 齐次线性方程组 有非零解； 矩阵 的秩 ； （此条等价： 无关 ） 含零向量的向量组必线性相关； 线性相关的向量组中，增加向量后，仍线性相关（相关缩维仍相关）； 线性无关的向量组中，减少向量后，仍线性无关（无关扩维仍无关）； 向量组 线性无关，向量组 线性相关，则 可由 向量组 线性表出。（线性无关的向量组增加向量后线性相关 ，则增加进去的向量可由原向量组线性表出）； n+1个n维向量必线性相关（个数多于维数）； n个n维向量线性相关 ； n 个n维向量线性无关 。 三、向量组的秩 1、最大线性无关组与向量组的秩 定义 性质 求法 2、矩阵的秩与向量组秩的关系： 矩阵A的行向量组的秩等于其列向量组的 秩，也等于A的秩。即 例1 a=2是向量组 ， ， 线性无关的 （A）充分但非必要条件 （B）必要但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 例2 若向量 线性无关， 线性相关，则 （A） 必可由 线性表示 （B） 必不可由 线性表示 （C） 必可由 线性表示 （D） 必不可由 线性表示 例4 设向量组 线性无关， ， ， ，证明 线性无关(无关时的变换系数?) 第四节 线性方程组 考试要求 线性方程组的克莱姆法则，线性方程组的判 别法则，齐次和非齐次线性方程组的求解。 内容综述 一、线性方程组基本概念 线性方程组(17.1, 17.4)，非齐次线性方程组， 齐次线性方程组，向量形式，矩阵形式，系数矩 阵 A ，增广矩阵 ，方程组的解、解向量。 注：线性方程组与系数矩阵、增广矩阵一一对应。 二、克莱姆法则： ，m=n， (i=1， ，n) (分子是将分母系数行列式中第i 列元素换成相应常数项所得。 ) 三、齐次线性方程组解的性质 1、齐次线性方程组AX=0总有零解； 2、n元齐次线性方程组AX=0有非零解