事故树计算的数学知识(一).pptx

LOGO 安全评价教材辅导资料 Shigushu Fenxizhongde Shuxue Jichuzhishi PhoneE-mail:404368909 注册管理咨询师 注册安全评价师 江 光 平 制 作 本教案涉及的主要内容 事故树数学基础知识 Shuxue Jichuzhishi 1. 1. 集合的基本关系和运算集合的基本关系和运算 2. 2.逻辑运算逻辑运算 3. 3. 概率及运算概率及运算 4. 4. 事故树定性、定量分析事故树定性、定量分析 第一章 集合的关系及运算 本章有本章有4 4节内容节内容 化相交集合为 不交集合在 FTA的运用 化相交集合 为不交集合 基本计算 概念 化相交集合为 不交集合在 FTA的运用 化相交集合为 不交集合在 FTA的运用 化相交集合为 不交集合在 FTA的运用 化相交集合为 不交集合在 FTA的运用 第一章 集合的关系和运算 第一节第一节 集合的基本概念集合的基本概念 1.11.1基本概念基本概念 具有某种共同属性的事物的全体叫做集合，具有某种共同属性的事物的全体叫做集合， 集合中的事物叫做元素。集合中的事物叫做元素。 包含一切元素的集合称为全集，用符号包含一切元素的集合称为全集，用符号表表 示；不包含任何元素的示；不包含任何元素的 集合称为空集，用符号集合称为空集，用符号 表示。表示。 第一章 集合的关系和运算 1.21.2集合的表示集合的表示 集合以大写字母表示，集合的定义写在括号中集合以大写字母表示，集合的定义写在括号中 ；如：；如： A = 2 A = 2 单元素集合单元素集合 B = 2,4,6 B = 2,4,6 三元素集合三元素集合 C = 1,2,3 C = 1,2,3 三元素集合三元素集合 D = 1,2,3,4,5,6 D = 1,2,3,4,5,6 泛集（亦称全集）用泛集（亦称全集）用或或1 1 E = E = 零、无效或空集零、无效或空集 空集，用空集，用或或0 0表示表示 第一章 集合的关系和运算 1.31.3集合的包含关系集合的包含关系 集合之间的包含关系（即从属关系）用符号集合之间的包含关系（即从属关系）用符号 表示，如表示，如A A、B B、C C包括在包括在D D内，我们把内，我们把A A、B B、 C C称作称作D D的子集，表示为：的子集，表示为： A A、B B、C C D D 子集子集B B 1 1 包含于全集包含于全集，记为，记为 B B1 1 第一章 集合的关系和运算 1.41.4集合的描述法表示集合的描述法表示 把集合中的元素的公共属性描述出来，写在把集合中的元素的公共属性描述出来，写在 大括号内表示集合的方法。一般大括号内表示集合的方法。一般在大括号在大括号的左边的左边 写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线 ，在竖线的右边写上这个集，在竖线的右边写上这个集 合的元素的公共属性，如：不合的元素的公共属性，如：不 等式等式X X 2 2 3 3 X X +2+20 0的解集可表的解集可表 示为：示为： X X X X 2 2 3 3 X X +2+20 0 第一章 集合的关系和运算 第二节第二节 集合的简单运算集合的简单运算 2.12.1交集交集 两个子集相交之后，相交的部分为两个子集两个子集相交之后，相交的部分为两个子集 的共有元素的集合，称为交集，其相交的关系用的共有元素的集合，称为交集，其相交的关系用 符号符号表示，如图表示，如图1 1：ABAB。根据定义，交是可以。根据定义，交是可以 交换的，即（交换的，即（AB = BAAB = BA） B 图1 交集 第一章 集合的关系和运算 2.12.1交集关系演示交集关系演示 例例1 1：若：若 A = A = a,b,c,da,b,c,d B = B = c,d,ec,d,e ， 则：则：AB = AB = c,dc,d 例例2 2： 设设 A = 1A = 1，2 2，3 3，4 4，55 B = 2,4,6,8, B = 2,4,6,8,求求ABAB 解：解：AB = 2AB = 2，44 第一章 集合的关系和运算 2.1 2.1交集关系演示交集关系演示 例例3 3：已知：已知 A A为奇数集，为奇数集， B B为偶数集，为偶数集， Z Z为整数集，为整数集， 求求AZAZ，BZBZ，ABAB。 解：解： AZAZ = = 奇数奇数整数整数 = A = A BZ = BZ = 偶数偶数整数整数 = B = B AB = AB = 奇数奇数偶数偶数 = = 第一章 集合的关系和运算 2.22.2并集并集 集合集合A A、B B，由所有属于，由所有属于A A或属于或属于B B的元素所组的元素所组 成的集合，叫做成的集合，叫做A A、B B的并集记作的并集记作A AB B，如图，如图2 2： 即即A AB = XB = X X XA A或或X XB B 由并集定义可知：由并集定义可知： A AB=A B=A A A=A =A A AB=BB=BA A A B 图2 并集 第一章 集合的关系和运算 2.22.2并集并集 例题：设例题：设 A= 3A= 3，5 5，6 6，88， B= 4B= 4，5 5，7 7，8 8 ， 求求A AB B 解解：A AB = 3B = 3，4 4，5 5，6 6，7 7，88 第一章 集合的关系和运算 2.32.3补集补集 某种情况下，集合是某一给定集合的子集，某种情况下，集合是某一给定集合的子集， 这个给定集合可以看作一个全集，用符号这个给定集合可以看作一个全集，用符号I I表示，表示，I I 含有我们所要研究的各个集合的全部元素。已知含有我们所要研究的各个集合的全部元素。已知 全集全集I I，集合，集合A AI I，由，由I I中所有不属于中所有不属于A A的元素组成的元素组成 的集合，叫做集合的集合，叫做集合A A在全集在全集I I中的补集，记作中的补集，记作 （读（读 A A补）即补）即 且且 。由补集定义可。由补集定义可 知，对于任何集合知，对于任何集合A A， 有有 A I I A A 图3 补集 第一章 集合的关系和运算 2.32.3补集补集 例题：设例题：设 I = 1,2,3,4,5,6,7,8I = 1,2,3,4,5,6,7,8， A = 3,4,5A = 3,4,5， B = 4,7,8B = 4,7,8， 求求 解解： = 1,2,6,7,8;= 1,2,6,7,8; = 1,2,3,5,6;= 1,2,3,5,6; = 1,2,6; = 1,2,3,5,6,7,8;= 1,2,6; = 1,2,3,5,6,7,8; = 4= 4 第一章 集合的关系和运算 第三节第三节 化相交集合为不交集合理论运用化相交集合为不交集合理论运用 Er Es Er Es Er Es Er + ErEs 图4 相交、不相交集合文氏图 第一章 集合的关系和运算 3.13.1相交集合与不交集合概念相交集合与不交集合概念 由以上文氏图可以看出：由以上文氏图可以看出： ErErEsEs为相交集合，为相交集合， Er+ErEsEr+ErEs为不相交集合，亦即为不相交集合，亦即 ErErEsEs = = Er+ErEsEr+ErEs 式中：式中：集合并运算集合并运算 + + 不交和运算不交和运算 所以有：所以有： P(P(ErErEsEs)=P()=P(ErEr)+P()+P(ErEsErEs) ) 第一章 集合的关系和运算 3.13.1相交集合与不交集合概念相交集合与不交集合概念 并推广到一般式并推广到一般式： T = = ET = = E 1 1 +E+E 1 1E E2 2 +E+E 1 1 E E 2 2 E E 3 3 + +E +E 1 1 E E 2 2 E E 3 3 EE k k - - 1 1E Ek k 当求出一个事故树的最小割集后，可直接运当求出一个事故树的最小割集后，可直接运 用布尔代数的运算定律或以上式将相交和化为不用布尔代数的运算定律或以上式将相交和化为不 交和。交和。 第一章 集合的关系和运算 3.23.2不交积之和定理不交积之和定理 如果事故树结构比较复杂时，以上方法仍然如果事故树结构比较复杂时，以上方法仍然 相当繁琐，可采用不交积之和定理进行简化运算相当繁琐，可采用不交积之和定理进行简化运算 ；尤其是当事故树最小割集彼此间有重复事件时；尤其是当事故树最小割集彼此间有重复事件时 ，将更具优越性。，将更具优越性。 命题命题1 1，集合，集合ErEr和和EsEs如不包含共同元素，则如不包含共同元素，则ErEr 可用不交化规则直接展开。可用不交化规则直接展开。 命题命题2 2，若集合，若集合ErEr 和和EsEs包含共同元素，则：包含共同元素，则： ErEr EsEs = = ErsErs EsEs 式中：式中：ErEr s s表示表示ErEr中有的而中有的而EsEs中没有的元素中没有的元素 的布尔积。的布尔积。 第一章 集合的关系和运算 3.23.2不交积之和定理不交积之和定理 命题命题3 3，若集合，若集合ErEr和和EtEt包包 含共同元素，含共同元素，EsEs和和EtEt也包也包 含共同元素，而且含共同元素，而且ErEr t t， EsEs t t，则：，则： ErEsEtErEsEt = Es = Es tEttEt 事故树案例 T A1 A2 B1 B2 C X5 X1 X4 X5 X2 X3 X3 图5 事故树 第一章 集合的关系和运算 3.23.2不交积之和定理不交积之和定理 根据以上事故树，用不交积之和定理进行不根据以上事故树，用不交积之和定理进行不 交化运算，计算顶上事件的发生概率。交化运算，计算顶上事件的发生概率。 解：经布尔代数化简，该事故树最小割集为：解：经布尔代数化简，该事故树最小割集为： E E 1 1 = X = X 1 1 ,X,X 4 4 ， E E 2 2 = X = X 3 3 ,X,X 5 5 ， E E 3 3 = X = X 1 1 ,X,X 2 2 ,X,X 3 3 E E 1 1 3 3 = E = E 4 4 ， E E 2 2 3 3 = E = E 5 5 第一章 集合的关系和运算 3.23.2不交积之和定理不交积之和定理 根据以上公式和命题根据以上公式和命题1 1、命题、命题3 3得：得： T = = ET = = E 1 1 +E+E 1 1 E E 2 2 +E+E 1 1 E E 2 2 E E 3 3 = E = E 1 1 +E+E 1 1 E E 2 2 +E+E 1 1 3 3E E2 2 3 3E E3 3 = X = X 1 1X X4 4 +(X+(X 1 1X X4 4 ) X) X 3 3X X5 5 +X+X 4 4 X X 5 5 X X 1 1X X2 2X X3 3 = X = X 1 1X X4 4 +(X+(X 1 1X X1 1 X X 4 4 )X )X 3 3X X5 5 +X+X 1 1X X2 2X X3 3X X4 4 X X 5 5 = X = X 1 1X X4 4 +X+X 1 1 X X 3 3X X5 5 +X+X 1 1X X3 3X X4 4 X X 5 5 +X+X 1 1X X2 2X X3 3X X4 4 X X 5 5 第一章 集合的关系和运算 3.23.2不交积之和定理不交积之和定理 设各本事件的发生概率为设各本事件的发生概率为 q1=0.01,q2=0.02,q3=0.03,q4=0.04,q5=0.05q1=0.01,q2=0.02,q3=0.03,q4=0.04,q5=0.05， 则顶上事件的发生概率为：则顶上事件的发生概率为： P P （ T T ）= q= q 1 1q q2 2 +(1+(1q q 1 1 )q)q 3 3q q5 5 +q+q 1 1q q3 3 (1-q(1-q 4 4 )q)q 5 5 +q+q 1 1q q2 2q q3 3 (1-q(1-q 5 5 ) ) = 0.001904872 = 0.001904872 第一章 集合的关系和运算 第四节第四节 化相交集合为不交集合化相交集合为不交集合 在在FTAFTA中的应用中的应用 化相交集合为不交集合理论是近几年提出的，引进到化相交集合为不交集合理论是近几年提出的，引进到 FTAFTA中可以减少故障树顶上事件发生概率的计算量。中可以减少故障树顶上事件发生概率的计算量。 根据布尔代数下列定律：根据布尔代数下列定律： A + B = A +AB A + B = A+ ABA + B = A +AB A + B = A+ AB AA = 0 (A ) = A AA = 0 (A ) = A (AB) = A + B (A + B) = A B (AB) = A + B (A + B) = A B 对于独立事件和相容事件，对于独立事件和相容事件，A + BA + B 和和A + BA + B均为相交均为相交 集合，而集合，而A + A BA + A B和和A + ABA + AB则变为不交集合。则变为不交集合。 第一章 集合的关系和运算 4.1布尔代数证明 根据以上定律： A + B + C = A + A B + C = A + A B +（A + A B） C = A + A B + A（A B） C = A + A B + A （A）+ B C = A + A B + A（A + B）C = A + A B +A B C 同理可证： A + B + + M + N = A + AB + ABMN 第一章 集合的关系和运算 4.1 4.1布尔代数证明布尔代数证明 对于一个故障树结构函数，可将其化为不交形式对于一个故障树结构函数，可将其化为不交形式 例题例题1 1： T = T = （X X 1 1 +X+X 2 2 ）（）（X X 1 1 +X+X 3 3 ）（）（X X 2 2 +X+X 3 3 ） = =（X X 1 1 +X+X 1 1 X X 2 2 ）（）（X X 1 1 +X+X 1 1 X X 3 3 ）（）（X X 2 2 +X+X 2 2 X X 3 3 ） = =（X X 1 1 +X+X 1 1 X X 2 2X X3 3 ）（）（X X 2 2 +X+X 2 2 X X 3 3 ） = X = X 1 1X X2 2X X1 1 X X 2 2X X3 3 + X + X 1 1 X X 2 2X X3 3 若若X X 1 1 、X X 2 2 、X X 3 3 的发生概率分别为的发生概率分别为q q 1 1 、q q 2 2 、q q 3 3 ，则顶上事件，则顶上事件 的发生概率即为：的发生概率即为： g = q g = q 1 1q q2 2 + (1 + (1q q 1 1 )q)q 2 2q q3 3 + q + q 1 1 (1(1q q 2 2 )q)q 3 3 第一章 集合的关系和运算 例题例题2 2： T = X1X2X4+X1X3X4+X2X3X4T = X1X2X4+X1X3X4+X2X3X4 = X1X2X4+