数字电子技术基础PPT第2章 逻辑门与逻辑代数基础.ppt

第2章 逻辑门与逻辑代数基础 本章介绍逻辑描述、逻辑门、逻辑代数基本公式与逻辑 代数化简。 2.1 逻辑描述 1. 逻辑函数 逻辑函数与一般的数学函数一样，描述输入与输出变量之间的逻辑关系， 函数中的逻辑变量常用大写或小写字母表示，但取值只能为0或1。通常取值为 1的变量称为原变量，取值为0的变量称为反变量。 2. 真值表 真值表是将所有可能情况下的输入取值与对应的输出值列成的表格，是逻 辑关系的表格表示。通常表格左侧为输入变量按照二进制数增序排列的所有取 值，右侧为输出变量。 如果用数字0、1表示输入与输出变量的取值，则真值表描述输入逻辑变量 与输出变量之间的关系。如果用高电平H、低电平L表示输入信号与输出信号的 取值，则真值表描述门电路输入与输出之间的电平关系，称为电平真值表。 3. 逻辑电路图 逻辑图是用图形的方式描述逻辑输入变量与输出变量之间的关系，逻辑门符 号是逻辑图的基本元素。 在逻辑电路图中，低电平或是逻辑0有效的信号，常与逻辑非（小圆圈）引 脚连接，以表示该信号是低电平或是逻辑0有效的信号。若是信号不与逻辑非符号 （小圆圈）引脚连接，则表示该信号是高电平或是逻辑1有效的信号。用圆圈表示 逻辑非的符号称为逻辑非符号。 4. 逻辑信号 逻辑信号既可以用高电平H或是逻辑1表示有效，也可以用低电平L或是逻辑0 表示有效。在信号为高电平H或是1有效的逻辑中，低电平L或是0表示信号无效， 而在信号为低电平L或是0有效的逻辑中，高电平H或是1表示信号无效。有些逻辑 图中的信号既有高电平有效的信号也有低电平有效的信号，这种逻辑称为混合逻 辑。 若是用逻辑1代表高电平H，用逻辑0代表低电平L，则称为正逻辑；若是用逻 辑1代表低电平L，用逻辑0代表高电平H，则称为负逻辑。 2.2基本逻辑门功能概述 1. 非门 非门又称为反相器，是实现逻辑非运算的逻辑电路。 输 入 输 出 输 入 输 出 AYAY LH01 HL10 2或门 或门是实现或运算的门电路。或运算又称为或逻辑、逻辑加。 输 入输 出 ABY 000 011 101 111 某房间的3个窗户上 安装有磁控开关， 当窗户打开时磁控 开关输出高电平， 现在要求设计一个 电路，当任何一个 窗户打开时，该电 路输出报警信号。 3与门 与门是实现与运算的门电路。与运算又称为与逻辑、逻辑乘。 输 入输 出 ABY 000 010 100 111 利用与门控制计数器输入脉冲的脉冲频率测量电路 汽车安全带绑紧检测装置 4与非门 与非门可实现与门和非门的复合运算， 输 入输 出 ABY 001 011 101 110 【例2-9】 某工业生产中，需要监视 两种液体的液位，当液位高于液罐高 度的10%时，液位传感器输出高电平 ，否则输出低电平。要求当两罐液位 同时高于液罐高度的10%时，绿色发 光二极管亮。 5或非门 或非门可实现或门和非门的复合门运算， 输 入输 出 ABY 001 010 100 110 【例2-11】 汽车门关闭检测系统 ，汽车门若是未完全关闭，门检 测开关输出高电平；若是门完全 关闭，门开关输出低电平。要求 若是有一个或多个门未完全关闭 ，发光二极管亮，提示驾驶员关 门。 6异或门 异或门实现异或逻辑 输 入输 出 ABY 000 011 101 110 7同或门 同或门实现同或逻辑， 输 入输 出 ABY 001 010 100 111 【例2-13】 某装置为可靠运行，采用 两套控制装置，当两套控制装置输出 结果同是1或0时，一致性检测装置的 发光二极管灭，否则发光二极管亮。 应该有非号 2.3 逻辑代数基本定律与公式 2.3.1 基本定律 1交换律 或运算交换律 A + B = B + A 与运算交换律 A B = B A 2. 结合律 或结合律 ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 与结合律 ( AB )C = A( B C ) 3分配律 与对或的分配律 A(B+C)=AB +AC 或对与的分配律 A+BC =(A+B)(A +C) 2.3.2 基本公式 1使能公式 （1）A+0=A （2）A 1=A 2禁止公式 （1）A+1=1 （2）A 0=0 3冗余公式 （1）A+A=A （2）A A=A 4互补公式 5双重否定公式 6吸收公式 A+AB =A 7包含公式 2.3.3 基本定理 1代入定理 任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现的某一逻辑变量都用一个逻辑函数 式来代替，则逻辑等式仍然成立。这个定理称为代入定理。 等式左侧 2对偶式和对偶定理 所谓对偶式就是将一个逻辑函数式Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成 “0”，“0”换成“1”，则得到一个新的逻辑函数式Y。 对偶定理：若是两逻辑函数式相等，则它们的对偶式也相等。 3反演定理 将一个逻辑函数式Y中所有的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成 “1”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的逻辑函数式为。将Y 变为的规律称为反演定理。使用反演定理时，注意遵循如下约定： 需要遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。 不属于单个变量上的非号应该保留不变。 4摩根定理 （1）摩根定理 a）定理1：或函数的非等于非的与函数，即 AB 0011 0100 1000 1100 b）定理2：与函数的非等于非的或函数，即 AB 0011 0111 1011 1100 【例2-14】 （2）摩根定理用于门电路转换 通常人们对高电平起作用的信号非常习惯，而对低电平起作用的信号感觉很 难处理。 例如，电动机运转表示为逻辑值“1”，用高电平信号表示；电动机停止表示 为逻辑值“0”，用低电平表示，这就比较符合人们的思维习惯。而反过来，电动机 运转表示为逻辑值“0”，用低电平表示；电动机停止运行表示为逻辑值“1”，用高 电平表示，则容易引起思维困难。 如果设计一个监测两台电动机M1、M2同时运行的电路，要求在两台电动机 同时运行时输出Y为高电平，则按照高电平起作用的约定，可以直接使用与逻辑 ，表示为Y=M1 M2。但是按照低电平起作用的约定，就是说，电动机运行用低 电平表示，这时人们首先想到的是将低电平起作用的信号，用非逻辑转换成高电 平起作用的信号，然后再使用与逻辑实现，很难想到直接使用或非逻辑来实现， 表示为 。 a）将或门转换成输入低电平有效的与非门。 例如，某数字系统有信号 和 ，当这两个信号同时有效时，输出 有效 b）将与门转换成输入低电平有效的或非门。 由摩根定理可知，对于与逻辑函数式 ，用摩根定理有 例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平有效，如果有一台电动机 运转时其输出端Y就输出低电平 c）将与非门转换成输入低电平有效的或门。 对于与非逻辑函数式 ，对等式右侧采用摩根定理变换后， 例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平有效，如果在有一台 电动机运转时其输出端Y就输出高电平， d）将或非门转换成输入为低电平有效的与门。 对于或非逻辑函数式 ，对等式右侧采用摩根定理变换后， 例如，监测两台电动机运转的信号M1、M2都是低电平有效，如果在两台电 动机都运转时其输出端Y就输出高电平， 2.4 标准逻辑函数式 1标准与-或函数式 若与-或逻辑函数式中的与（乘积）项中包含所有输入变量，且每个 变量以原变量或是反变量出现1次，则该与项称为最小项。 与项采用最小项写法的与-或函数式称为标准与-或函数式。 这里用m表示最小项，其下标是用十进制表示的最小项编号，如 ， 与110相对应，而110表示十进制的6，所以该最小项为m6。 对于任意一个最小项，只有一组输入变量使其为1。在与-或函数式中，只要 有一个最小项为1，则与-或函数式等于1。 2标准或-与函数式 若或-与函数式中的或（和）项包含所有变量，且每个变量以原变量或是 反变量出现1次，则该或项称为最大项。 或项采用最大项书写的或-与函数式称为标准或-与函数式。方法是在非标 准或-与式中的或项中，和缺失变量的原变量、反变量相与后再相或，例如或项 中缺失变量D，则增加，然后用或对与的分配律A+BC=(A+B)(A+C)，就可以将 或项转换成最大项。 【例2-15】 对于任意一个最大项，只有一组变量，使最大项为0， 2.5 代数法化简函数式 化简函数式的目的就是使逻辑函数式简单，实现函数式时不仅所用的门电路 最少，而且门电路的输入端个数最少。或者说在最简与或函数式中，与项最少， 与项中的变量数最少，因此为最简与或函数式。 逻辑代数法化简就是用逻辑代数的定律与公式进行化简， 2.6 卡诺图 2.6.1 画卡诺图 卡诺图是二维表格，像真值表一样，卡诺图中的每一个格代表一个输入组合，因 此三变量输入的卡诺图具有23=8个格。卡诺图每个格中填入的数字是对应输入 变量组合的输出逻辑值。 1卡诺图 2从真值表到卡诺图 真值表与卡诺图一样是输入变量的最小项与输出值之间关系的表格，因此只 要将真值表中输出为1的最小项所对应的卡诺图格中填入1，就可以完成真值表到卡 诺图之间的转换。 例如，图2-50（a）所示的真值表，其输出Y（A、B、C）为1的最小项值是001、 010、110和111，将这些最小项对应卡诺图格中填入1，有图2-50（b）所示的卡诺 图。 3将与-或函数式填入卡诺图 （1）将标准与-或函数式填入卡诺图 【例2-23】 将四变量标准与-或函数式 填入四变量卡诺图。 （2）非标准与-或函数式填入卡诺图 非标准与-或函数式中的与项常缺少一个或几个变量，缺哪个变量，就相当于哪 个变量互补，最小项占据卡诺图中的一个格，缺一个变量，则占据2个格，缺两个变 量占据4个格，缺3个变量，则占据8个格。 2.6.2 用卡诺图化简与-或函数式 1画圈 用卡诺图化简就是使与-或函数式中的与项最少，每个与项中的变量最少。与项少则与 门的个数最少，与项中的变量少，则与门中的输入端个数少。由于卡诺图中两个相邻格具 有一个变量互补，可以消除一个变量；四个相邻格具有两个变量互补，可以消除两个变量 ，八个相邻格具有三个变量互补，可以消除三个变量。通常用画圈的方法将相邻的最小项 圈在一起，圈越大说明变量消除得越多，门电路的输入端越少；但是不允许有重复圈，每 个圈中至少有一个没有被圈过的最小项。 【例2-24】 试在图2-54所示的卡诺图上画圈，使圈最大，使圈的个数最少。 【例2-26】 化简函数式 【例2-27】 试化简最小项函数Y(A,B,C,D) (0,1,2,3,4,6,9,11,12,13,15)。 【例2-28】 真值表如表2-11所示，试用卡诺图化简并写出最简与-或式。 ABCY 0000 0010 0101 0111 1000 1011 1101 1111 2.6.3 具有无关项的逻辑函数化简 如果在实现某些逻辑功能时，不允许输入变量的某些组合出现，因此这些输入 变量组合对逻辑函数没有作用，则这些输入变量的组合称为约束项。 如果在实现某些逻辑功能时，某些输入变量组合的取值不影响逻辑功能的实现 ，则这样的输入变量组合称为任意项。 无论是约束项还是任意项，都不能使逻辑函数有确定的输出值，也不影响逻辑 函数的功能，因此称为逻辑函数的无关项。若是所有输入变量的组合都产生确定的 逻辑函数值，则该函数没有无关项。 在卡诺图中，无关项常用x表示。在卡诺图中的无关项x，可以根据需要取1或 是取0，因此也可以根据需要与输出为1的最小项圈在一起。图2-59是具有无关项的 卡诺图。 【例2-29】 试用卡诺图化简逻辑函数 这里 为无关项，表示这些输入变量组合的函数值是任意的 。 2.7 逻辑电路图、函数式与真值表之间的转换 1逻辑电路图转换到逻辑函数式 用逻辑运算符号替代逻辑图中相应的门电路，就可以将逻辑图转换为逻辑函 数式。通常从输入向输出逐级推导各个门的输出函数式。 【例2-30】 对于给定的输入波形A、B，试画出图2-62所示逻辑电路的输出波形 。 2逻辑函数式转换成逻辑电路图 用门电路替代函数式中的逻辑运算符号，就可以将函数式画成逻辑图。 3由逻辑函数式得到真值表 得到了逻辑函数式后，若是将该函数式的n个输入变量的组合都输入逻辑函数 式后，就可以得到2n个函数值，将输入变量的所有组合与对应的输出值列成表格后 ，就是真值表。 A(B+CD) ABCDA(B+CD) 00000 00010 00100 00110 01000 01010 01100 01110 10000 10010 10100 10111 11001 11011 11101 11111 4由真值表得到逻辑函数式 ABY 000 011 101 110 有时与-或函数式又称为积之和（SOP，Sum of Product）函数式。 从真值表获得与-或表达式的方法为： 将真值表输出为1的组合中的0以字母变量的非表示，1用原字母变量表 示后，以与逻辑关系写出；再将各个组合相或，则可以从真值表得到输出值 为1的函数式。 【例 2-31】 对于表2-14所示的真值表中，只有组合A=0、B=0、C=1或组合A=1、 B=0、C=1使输出Y=1。试写出函数式。 ABCY 0000 0011 0100 0110 1000 1011 1100 1110 ABCY 0001 0011 0100 0111 1001 1010 1101 1111 该结果同样是输出值为1的函数式， 是或-与函数式，又称为和之积（POS ，Product Of Sum）函数式。 【例2-32】 真值表如表2-16所示，试写出该表的或-与函数式。 ABY