2012届理数第一轮课件11.4二项式定理.ppt

二项式定理 一、二项式定理 1展开式 (ab)n 所表示的定理叫做二项式定理 2通项：Tk1 为第 项 k1 (ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？ 提示：(ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全 相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项 不同 二、二项式系数 1定义：式子 叫做二项式系数 2性质 (3)对称性： 2n (4)二项式系数最值问题 当n为偶数时，中间一项 最大； 当n为奇数时，中间两项 ， 相等且最大 三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项 式系数不同. 二项展开式的通项公式Tk1 ankbk(k0,1,2， ，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化 ，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、 中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数以及数、式的 整除等方面有着广泛的应用使用时要注意： (1)通项公式表示的是第“k1”项，而不是第“k”项； (2)通项公式中a和b的位置不能颠倒； (3) 展开式中第k1项的二项式系数 与第k1项的系数， 在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时， 一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防 出差错 已知在( )n的展开式中，第6项为常数项 (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项 利用通项公式可求,注意运算. 【解】 (1)通项公式为 因为第6项为常数项，所以k5时，有 0，即n10. (2)令 得k (n6)2， 所求的系数为 ， (3)根据通项公式，由题意得 令 r(rZ)，则102k3r，即k5 kZ，r应为偶数， r可取2、0、2，即k可取2、5、8. 所以第3项，第6项与第9项均为有理数，它们分别为 1(1)(2010东北四市联考)在(x1)7(1 )7的展开式中，x3项 的系数为 ( ) A35 B35 C21 D21 (2)设a (sinxcosx)dx，则二项式(a )6展开式中 含x2的项的系数是_ 解析：(1)(x1)7 含x3项的系数为 (2)因为a (sinxcosx)dx(cosxsinx) 2，所以二 项式( )6展开式的通项是(1)k26k 令3k2，得k1，所以含x2的项的系数是192. 答案：(1)D (2)192 =21x3. 1对形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、cR)的式子求 其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即 可；对(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令xy1即可 2一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式 中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0a2a4 偶数项系数之和为a1a3a5 若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0， 求：(1)a7a6a1； (2)a7a5a3a1； (3)a6a4a2a0. 所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值”法 ，即“赋值法”整体解决. 【解】 (1)令x0，则a01； 令x1，则a7a6a1a027128， a7a6a1129. (2)令x1， 则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7， 由 得： a7a5a3a1 128(4)78 256. (3)由 得 a6a4a2a0 128(4)78 128. 2在本例条件求|a1|a2|a7| 解：(3x1)7展开式中，a7、a5、a3、a1均大于零， 而a6、a4、a2、a0均小于零， |a7|a6|a1| (a1a3a5a7)(a0a2a4a6)a0 8 256(8 128)116 383. 1求二项式系数最大项： (1)如果n是偶数，则中间一项(第( 1)项)的二项式系数 最大； (2)如果n是奇数，则中间两项(第 项与第( 1) 项)的二项 式系数相等并最大 2求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，bR)的展开 式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各 项系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，应 用 从而解出k来，即得 已知( )n(nN*)的展开式中第五项的系 数与第三项的系数的比是101. (1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含 的项； (3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 （1）可利用“赋值法”求各项系数的和； （2）可利用展开式中的通项公式确定k的值； （3）可利用通项公式求出k的范围，再确定项. 【解】 由题意知，第五项系数为 (2)4， 第三项的系数为 则有 化简得n25n240， 解得n8或n3(舍去) (1)令x1得各项系数的和为(12)81. (2)通项公式 令 ，则k1， 故展开式中含 的项为T216 . (3)设展开式中的第k项，第k1项，第k2项的系数绝对 值分别为 若第k1项的系数绝对值最大，则， 解得5k6. 又T6的系数为负，系数最大的项为T71 792x11. 由n8知第5项二项式系数最大， 此时T51 120x6. 1 的展开式中x2的系数为 ( ) A10 B5 C. D1 解析：含x2的项为 x2的系数为 答案：C 2若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式 的常数项为 ( ) A10 B20 C30 D120 解析：二项式系数之和2n64，则n6，Tk1 x6k ，当62k0时，即k3时为常数项， T31 20. 答案：B 3(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是( ) A第 1项 B第n项 C第n1项 D第n项与第n1项 解析：(1x)2n的展开式中，各项系数等于对应的二项式 系数，故系数最大的项是第n1项 答案：C 4若(ax2 )9的展开式中常数项为84，则a_， 其展开式中二项式系数之和为_(用数字作答) 解析：二项式(ax2 )9的通项公式为 a9kx182k( 1)