二次型的有定性及其应用本科毕业论文.doc

本科毕业论文（设计）题 目 二次型的有定性及其应用 院（系） 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 xxxxxx 学 号 09014039 指导教师 xxxx 职称 xxxx 论文字数 7000 完成日期: 年 月 日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 巢湖学院2013届本科毕业论文（设计）二次型的有定性及其应用摘要二次型的有定性是二次型中有重要地位的内容。二次型的有定性指的是二次型的正定性、半正定性、负定性、半负定性。该文章没有考虑复二次型情况，只分析了实二次型的正定性，半正定性以及它们在数学以及其他科学上的应用。该文章先介绍二次型的定义，以及正定性，半正定性的定义和性质以及一些相关定理的证明，接着举例说明实二次型的有定性（正定性、半正定性）在高等数学以及物理学等科学上的应用。该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用。关键字： 实二次型；正定性；正定性应用；半正定性；半正定定性应用 the qualitative matrix and its applicationabstractdefiniteness of quadratic form holds an important position in quadratic form. the definiteness of quadratic form refers to positive definite, positive simi-definite, negative definiteness , negative simi-definite in quadratic form. in this paper, it did not take complex quadratic form into account, but analyzing the positive definiteness ,positive simi-definite of real quadratic form and their roles in mathematics and other scientific applications. this paper introduced the definition of the quadratic form ,along with the definition and the properties of the positive definiteness, positive simi-definite and some proof of relevant theorem at first ,then illustrate the real quadratic form arequalitative(positive qualitative, positive simi-definite)in advanced mathematics, physics and others scientific applications. this paper is divided into two parts, firstly , it summarized and given the properties of the real positive definite quadratic form theorem, as a basis, and then discusses the related properties ,theorem of positive semi-definite quadratic form , and summed up their applications in dealing with math problems .keywords: real quadratic form, positive definiteness, applications of positive definiteness, semi-positive definite, semi-definite qualitative applications17目 录 中文摘要英文摘要引言11二次型正定（半正定）的定义22. 二次型有定性的相关性质以及定理42.1 二次型正定性的判别定理42.2 二次型半正定性的一些判别方法53.二次型正定性及半正定性的应用53.1二次型的正定性在数学解题中的应用63.2 用二次型的正定性求三元函数极值问题63.3 二次型半正定型的判定定理，性质，及简单的应用103.4用二次型半正定性证明不定式15参考文献19前言实二次型的正定性在大学课本以及相关教材中都有大量的涉及，但却很少有关于半正定的研究。鉴于两者在研究方法上式一致的，所以本文在论述了二次型正定性的有关定义、性质定理之上研究了半正定二次型的相关定理及应用。该文分两部分，先是总结并给出了实正定二次型的性质定理，以此为基础，再论述出半正定二次型的相关性质、定理，并总结出了其在处理数学问题方面的应用，特别是应用二次型的半正定性解决不等式的证明。我们知道任何二次型都有相对应的矩阵，对于二次型的研究就变成了对于矩阵的研究，因此我们即需考虑半正定矩阵的半正定性以及正定性。所以该文，从二次型正定性出发，在前人研究成果的基础上，给出了正定性的相关性质定理，并由此又引出了半正定的定义，性质，和一系列简单的应用。文章重点在于半正定的研究，我分析了其基本定义，并给出了几个等价定义，由此又得出了一些半正定二次型的性质，应用。在大学高等代数的学习中，二次型占了较大的比重。二次型的有定性是研究二次型的基础，其包含正定性（负定性），半正定性（半负定性）。然而在整个数学学习中，实二次型的半正定性一直很少提及，对于其定义，性质以及应用也出现不多，但是对实二次型的正定性的相关内容作了详细的分析。因为两者思路接近，所以有必要对半正定的性质，判定定理作相应的研究。由于课本中对半正定性基本上并没有提及，所以我查阅了很多相关文献，了解到半正定性的应用很广泛，该文主要是在了解的基础上，对半正定性的定义，判定定理，性质，做出了总结，并归纳出它在数学解题中的应用。 本文分为两大块，先是给出了总体上给出了正定及半正定的定义，及相关定理，对前人的研究成果加以总结，得出了正定二次型的一些应用。接下来就是文章的主要论述，即半正定的判定定理，性质，以及在数学上的应用。此论文主要是考虑了当前半正定矩阵应用前景比较广泛，而有关此类的论文并不是很多，所以我在参考了有关学术研究的基础上，对半正定做了些归纳，主要是因为二次型的半正定性与正定性在思想上是一致的，所以我先论述了正定的性质，定理再总结半正定的有关内容。1二次型正定（半正定）的定义定义1.1 的二次函数 称为二次型。 对该二次型进行可逆线性变换该二次型变成了只有平方项，为标准型当只有1,-1,0作为中的系数，时，就能得到则称上式为二次型的规范型。上述线性变换也可写为并且, 并当时就认为该线性变换是可逆的。有关于二次型的定理以及相关内容在高等数学中也很丰富： 则二次型可记为 其中, , 为对称矩阵。定义1.2 设有二次型,(1) 若，都能得到，那么称是正定二次型，其中称为正定的对称矩阵； (2) 若,都能得到,，并且存在，使，那么称为半正定二次型，其中称为对称的半正定矩阵。二次型的有定性包含正定性、半正定性。二次型的不定性即指的非有定性。任何二次型都有与其对应的矩阵，因此任何二次型的有定性也有就等价于对应的矩阵具有有定性。所以二次型的相关内容可由通过判断矩阵的相关内容得出。2二次型有定性的相关性质以及定理2.1 二次型正定性的判别定理定理2.1.1 惯性定理其中正（负）系数的个数称为正（负）惯性指数。定理 2.1.2 二次型为正定正惯性指数是定理2.1.3 二次型为正定它的特征值全为正定理2.1.4二次型秩为, 那么对应的规范形为则： （1）正定 （即） (2) 半正定 (即)(3) 半负定 (即)(4) 不定 (即)定义 2.1.1 阶矩阵的任意一个行列的子式， 称为的一个阶主子式。而子式称为的阶顺序主子式。定理2.1.5 若二次型对应的矩阵为正定的, 则，且阶矩阵为正定矩阵的各阶主子式。上面所介绍的是常见的对于正定矩阵的判定方法若矩阵是半正定的，下面三个是等价的： 对称矩阵是半正定的; 的所有主子式大于或等于零；的全部特征值大于或等于零。2.2二次型半正定性的一些判别方法（后面在半正定的判定定理中会详细证明）1n阶对称矩阵a是半正定矩阵若正惯性指数为则。2 n阶对称矩阵a是半正定矩阵特征值，且最少有一个为0。3n阶对称矩阵a是半正定矩阵a的各阶主子式全大于等于零。注：3中我们要注意，主子式与顺序主子式的区别，必须要保证任意的一个主子式大于等于零。不能仅仅看顺序主子式是否大于等于零，这是不充分的。3.二次型正定性及半正定性的应用该部分主要讨论二次型的应用，重点在于半正定二次型的应用，所以对其在数学解题上的应用做出了归纳，下面我们通过一些具体的例子来介绍正定、半正定性在数学上的应用。3.1二次型的正定性在数学解题中的应用例3.1.1 证明（其中是不全为零的实数）。证明：令，那么对应的矩阵 ，因为，的各阶顺序主子式为：；，所以，正定，从而（因为是不全为零的实数），即（其中是不全为零的实数）,结论得证。3.2用二次型的正定性求三元函数极值问题定义3.2.1 如果在的和都存在并且连续，,那么在点的梯度是。定义3.2.2 满足的点称为函数的驻点。是在点的黑塞矩阵。可以看出是是阶实对称矩阵，其中各项是由二阶偏导数构成的。定理3.2.1 如果在取点时存在，并该函数能在取得极值点，则。称该定理为取到极值的必要条件。定理3.2.2若在时，都连续则 : (1)如果正定，那么的极小值是； (2)如果负定，那么的极大值是； (3)如果不定，那么的没有极值。以上定理称为极值存在的充分条件。应注意的问题： 多元函数的极值问题，可以用二次型的正定性去解决，但使用该方法也需要限制条件，且必须是满足严格的正定及负定，如不满足，就不能得到相应的结论。例3.2.1求三元函数的极值。解先求驻点，由 得所以驻点为。下面计算出(hessian)因为,所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：。其实不怕麻烦的话，也可以配方解出极小值是-6，但该方法计算量大，易错，所以建议用例题中所给的解法。多元函数的最值问题也可以用特征值去求解，通过求解二次型矩阵的特征值，得到函数的最值。如果那么在下，矩阵的最大（小）特征值就是函数的最大（小）值。 例3.2.2 求函数在满足条件的最小值。 解：先对二次型作正交变化将其化为标准形式然后在条件下讨论函数的最小值。设为与实二次型对应的矩阵它的特征多项式。对于特征值，求得两个线性无关的特征向量;再用正交化方法，得两个单位正交的特征向量取正交矩阵 则有对二次型做正交变换，得 所以该题就转化为在的条件下，求的最小值，用我们上面的方法又当时，所以满足条件（2）的最小值，而且它仅在和处取得最小值，回到变元,则在和 最后再介绍一个有用的定理： 定理3.2.3 如果二次型对应的矩阵是正定的，且存在实向量 ，那么在时，可以得到最小值。证明:，由正定，存在（对称）而，其中，正定，故，所以取得最小值。3.3二次型半正定性的判定定理，性质，及简单的应用实二次型半正定性的判定定理：定理3.3.1 二次型半正定它的标准型的所有系数都是非负的。证明 设，若,则 即半正定。 当是半正定的, 当存在使, 则令这时可以找到变量的一组适当值,使得与原条件矛盾，所以。定理3.3.2 半正定二次型的正惯性指数，为秩。 证：设实二次型的秩为，正惯性性指数为，可知，实二次型经过可逆变换化为标准型 其中：。由题目已知，是可逆线性变换，则可知当不全为零时，有不全为零；反之也是成立的。如果，则标准型即化成，对于该式，任意一组不全为零的，（对应的）不全为零)都有，所以为半正定矩阵。如果为半正定矩阵，等价于，下面用反正法证明，假设，我们可以取，剩下的，那么。这与已知条件矛盾，因此。证毕。由定理3.3.2可知，实半正定二次型的标准形式是（2），再经过可逆线性变换有 由此我们知道，实二次型半正定的，这又是一定理。定理3.3.3 为半正定，则证：设，当定理 3.3.4 实二次型是半正定的二次型的矩阵的特征值均为非负数。证：设二次型矩阵的特征值为,经过可逆线性变换,，条件已知，可知。如果属于的特征向量是（不为零向量），条件知是半正定矩阵，所以就有，因为，所以，所以特征值均为非负数。定理3.3.5若可逆变换, ,则半正定半正定证明：由，有,因为为可逆矩阵，知,于是的,有,所以则半正定。反之,所以,.则半正定.定义3.3.1 形如子式的阶行列式称为的级主子式, （）。定理3.3.6 实二次型半正定二次型对应的矩阵的所有级主子式大于等于零。证明 “” 设二次型是半正定的, 则存在对角矩阵，我们知道，通过可逆线性变换,把二次型变为标准型，再由已知定理知,所以, 根据条件知道, 并且, 如果二次型是半正定的, 则对于一切二次型也全部是半正定的, 所以可知对于任意级主子式都大于等于零。“”, 如果为的级顺序主子式, 并且由条件知的所有级主子式都大于等于零，那么，都会存在, 使得 = ()这里有.从上面给出的式子中,且,那么矩阵的所有的顺序主子式都是非负的,由此容易得出是正定的。当为的特征值时, 就有, 即可得到,那么的特征值就为, 由已知条件知是正定的, 那么,对于，可得,由我们上面介绍的定理: 如果矩阵是半正定的的所有特征值大于等于零。因此我们可以得到是半正定的。对于半正定矩阵，有下列性质：性质1 如果是半正定矩阵，则有任意的，也是半正定矩阵。证：设，已知是半正定矩阵，所以对于任意的维实向量,有，如果，所以也是半正定的。性质2 如果是半正定矩阵，那么为半正定矩阵。性质3 如果是半正定矩阵，那么。性质4 如果是半正定矩阵，那么对于任意也是半正定矩阵。证明：由于半正定，并有，那么，并有是实矩阵，则由定理知半正定。性质5 半正定矩阵的主子式都大于等于0。（证明见定理）性质6 对称阵a为半正定则有。证明：例3.3.1判定实二次型：从以上的论述中，我们对于半正定已经有了初步的了解，知道了它的一系列的等价定义性质等，并且了解了半正定二次型也是二次型的一个分支，并与正定二次型在研究方法上有类似之处，下面我将重点论述半正定二次型的应用，着重介绍在数学学习中，用半正定性来证明不等式。接下来我们将用所学的二次型的半正定性方面的知识来解决不等式的证明这一系列比较复杂的问题，用该方法证明会简化证明，而且易于理解，便于掌握，我们要根据题目的具体要求，利用半正定的性质去解题，步骤如下：先把不等式化为的形式，然后在根据半正定二次型的性质，得到所证结论。3.4利用二次型半正定性证明不等式.证明分以下几步：先把不等式转化为的形式，再由半正定二次型的定义性质等，得到该二次型是半正定的，由此证明不等式。例3.4.1 的三边为面积为,证：利用余弦定理及面积公式把所证结论转为二次型例3.4.3（不等式）若,那么得到证明：由于,就有, 所以有关的二次型是半正定的.再有上面介绍的定理3.31可得该二次型矩阵的行列式大于或等于0, 即例3.4.4 证明：证明：记 ,其中,对于该矩阵，先分别用第2,3,行减去第1行，再用第2,3,列依次加到第一列,那么矩阵变为, 由此可以得出的特征值是0,，、由特征值大于等于零,得出为半正定矩阵, 所以要证明的二次型为半正定的,那么就有，则证毕。例3.4.5 设三角形的三角分别为, 证明,存在证明： 记，把的第一行乘以加到第二行，再把