空间向量及其运算(理).ppt

第 七 章 立 体 几 何 第七 节 空间 向量 及其 运算 （理 ） 抓 基 础 明 考 向 提 能 力 教 你 一 招 我 来 演 练 返回 备考方向要明了 考 什 么 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判 断向量的共线与垂直 4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的 距离公式，并会解决简单的立体几何问题. 返回 怎 么 考 从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在命 题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考 查，难度中等. 返回 返回 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线 共面向量平行于 的向量 共线向 量定理 对空间任意两个向量a，b(b0)，ab 存在R，使 平行或重合 同一平面 ab 返回 语言描述 共面 向量 定理 若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p 空间 向量 基本 定理 (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空 间任一向量p，存在有序实数组x，y，z使得p (2)推论：设O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x 、y、z使 x y z 且xyz1 xaybzc xayb 返回 ab0 a2 返回 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量和ab 向量差ab 向量积ab 共线 ab (R) 2向量的坐标运算 (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 返回 垂直ab 夹角 公式 cosa，b a1b1a2b2a3b30 返回 返回 答案：B 返回 返回 答案： A 返回 返回 答案： D 返回 4已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(a b)(ab)的值为_ 答案： 13 解析： ab(10，5，2) ab(2,1，6) (ab)(ab)13. 返回 5已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦 值为_ 返回 1用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用 向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一 般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向 量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转 化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最 后应进行转化 2空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解 3几何体中向量问题的解决，选好基底是关键 返回 返回 返回 返回 返回 返回 巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！) 返回 返回 答案：D 返回 冲关锦囊 用已知向量来表示未知向量一定要结合图形，以 图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法 与数乘运算的几何意义灵活运用三角形法则及四边形 法则. 返回 返回 返回 返回 其中真命题的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 返回 答案：B 返回 冲关锦囊 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共 面的方法比较： 返回 返回 返回 返回 题目条件不变，若(ab)(ab)与z轴垂直，求， 应满足的关系 解：ab(0,1,2)，ab(2,1，2)， (ab)(ab)(2，22) (ab)(ab)与z轴垂直， (2，22)(0,0,1)220， 即当，满足关系0时，可使(ab)(ab)与z 轴垂直 返回 巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！) 3(2012寿光模拟)如图，在30的二面角l的棱上 有两点A、B，点C、D分别在、内，且ACAB， BDAB，ACBDAB1，则CD的长度为_ 返回 返回 冲关锦囊 1应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取相互 之间夹角已知，模已知的基向量为基底表示题中的向 量再计算，二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来 解决，后者更为简捷 2在求立体几何中线段的长度时，转化为求aa|a|2， 或利用空间两点间的距离公式 返回 返回 解题样板 构造法在空间向量运算中 的应用 返回 返回 返回 答案：B 返回 高手点拨 上述解法一构造了特殊的几何体正四面体，并应 用了正四面体的对棱相互垂直