立体的投影及其表面交线.ppt

画 法 几 何 及 工 程 制 图 第4章 立体及表面交线 4.1 平面立体 4.2 曲面立体 4.3 平面与立体相交 4.4 两曲面立体相交 下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 基本体 按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.1 平面立体 4.1.1 棱柱 4.1.2 棱锥 表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.1.1 棱 柱 由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫 棱线，棱线相互平行。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 （1） 棱柱的投影 上一页下一页返回目录 5 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 棱柱的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 a a （a） (2) 棱柱表面上取点 (b） b b 上一页下一页返回目录 7 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.1.2. 棱 锥 由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一 点锥顶。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 棱锥的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 s B a s acb c s b C A S b”(c” ) a” (1) 棱锥的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 s s a a c b b(c) c s b a 1 1 1 r r (2) 棱锥表面上取点 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 s b (c) s a a c b c s b a 2 2 2 (2) 棱锥表面上取点 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 3 s s a a c b b(c ） c s b a (3) 3 (2) 棱锥表面上取点 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.2 曲面立体 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成 ，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为 素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.2.1 圆 柱 圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直 线绕与它相平行的轴线旋转而成。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 圆柱的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (2) 圆柱表面上取点 ( ) ( ) A (D) C B c 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.2.2 圆 锥 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与 它相交的轴线旋转而成。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 圆锥的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (2) 圆锥表面上取点 (2 ) 2 2 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.2.3 圆 球 圆球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴 线旋转而成。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 圆球的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (2) 圆球表面上取点 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.2.4 圆环 圆环是由圆环面围成的。圆环面可看作圆绕不通过 圆心但在同一平面上的轴线旋转而成。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1) 圆环的投影 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (2) 圆环表面上取点 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.3 平面与立体相交 4.3.2 平面与平面立体相交 4.3.3 平面与曲面立体相交 4.3.1 截交线的性质 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.3.1 截交线的性质 平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该 平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线， 截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截 平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范 围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线 或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。 截平面 截交线 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.3.2 平面与平面立体相交 由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多 边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截 交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简 化为求直线与平面交点的问题。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例2 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。 s a b c a s b c s a(c) b B A 1 2 3 1 y y 2 3 1 2 3 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例3 求带切口三棱锥的投影。 s s s“ bc c“ b“a“ a b c a 1“ yy yy 1 4“ 4 4 2 3 3 2 1 3“2“ 解题步骤 1 分析 截交线 的正面投影已知 ，水平投影和侧 面投影未知； 2 求出截交线上 的折点、 、 ； 3 顺次地连接各 点，作出截交线 ，并且判别可见 性； 4 整理轮廓线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.3.3 平面与曲面立体相交 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线 和直线所围成的平面图形或多边形。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 1. 平面与圆柱相交 圆 垂直轴线 两平行直线 平行轴线 椭圆 倾斜轴线 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例4 求斜切圆柱的截交线。 8 7 1 11“ 4“ 3“ 2 2“ 2 6 5 4 3 78 7“ 8“ 3(4) 56 5“ 6“ 解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为 椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。 作图步骤 1 分析 截交线的水平投影 为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的点、 、 、 ； 3 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例6 补画被截切圆柱的水平投影。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例7 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。 解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为 圆的一部分，侧面投影为矩形 ； 2 求出截交线上的点、 、； 3顺次地连接各点，作出截交线 并判别可见性； 4 整理轮廓线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 2. 平面与圆锥相交 =90 900 过锥顶 两相交直线圆椭圆抛物线双曲线 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 解题步骤 例9 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。 1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆； 2 求出截交线上的特殊点； 3 求出一般点； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例10 求正平面与圆锥的截交线。 解题步骤 1 分析 截交线的水平投影 和侧面投影已知，正面投影 为双曲线并反映实形； 2 求出截交线上的特殊点 、； 3 求出一般点 ； 4 光滑且顺次地连接各点， 作出截交线，并且判别可见 性； 5 整理轮廓线。 1 1 1 “ 2 “(3 “) 4 “(5 “) 4 5 2 3 24 5 3 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 3. 平面与圆球相交 平面与圆球相交,截交线为 圆 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例12 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例13 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.4 两曲面立体相交 4.4.1 相贯线的性质 4.4.2 相贯线的作图方法 4.4.3 相贯线的特殊情况 4.4.4 组合相贯线 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.4.1 相贯线的性质 立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相 贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点 是两曲面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不 同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特 殊情况下为平面曲线或直线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.4.2 相贯线的作图方法 1.表面取点法 当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相 贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投 影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯 线的方法称为表面取点法。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。 yy yy de d e a c b a“ b“ c“ d“ e“ ba c 分 析 求特殊点 求一般点 判别可见性 完成相贯线 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处 于特殊情况（平面曲线或直线）。 分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面 立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。 根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是要 求作的。 分 析 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 求特殊点 确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括： 相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左 右、前后转向轮廓线上的各个点。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 求相贯线的一般步骤 （1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小 和相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情 况分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影 是否有积聚性。分析相贯线哪个投影已知的，哪个投影是要 求作的。 （2）求特殊点 相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮 廓转向点、曲线特征点和结合点四种。 （3）求一般点 根据需要求出若干个一般点。 （4）判别可见性 当相贯线上的点同时处于两立体表面 的可见部分时这些点才可见，否则不可见。 （5）完成相贯线 顺次光滑连接各点，作出相贯线。补 全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割 掉的轮廓线或转向轮廓线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 圆柱表面交线的三种情况 两外表面相交 外表面与内表面相交 两内表面相交 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 两正交圆柱相贯线的变化趋势（一） 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 a“(b“ ) ab c“ c a b c d d“ d e“(f “) e f ef g h y y g“(h“ ) g h 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 2. 辅助平面法 假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相 贯的两立体，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线 交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线 上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助 平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即 得相贯线的投影。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 (1)所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的 投影应是简单易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作 为辅助面。 (2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则 得不到共有点。 选择辅助平面的原则： 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 yy PW2PV2 4“ yy 4 PV1PW1 3“ PV3PW3 5“ 1 11“ 2 2“ 2 4 5 3 3 5 例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 4.4.3 相贯线的特殊情况 相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为 平面曲线或直线。 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 （1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆 上一页下一页返回目录 画 法 几 何 及 工 程 制 图 （2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时