垂径定理及其推论.pptx

垂径定理 问题问题 ：你知道赵赵州桥吗桥吗 ?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥桥, 是我国古代人民勤劳劳与智慧的结结晶它的主桥桥是圆圆 弧形,它的跨度(弧所对对的弦的长长)为为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为为7.2m，你能求出赵赵洲桥桥主桥桥拱的半径吗吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究 把一个圆圆沿着它的任意一条直径对对折 ，重复几次，你发现发现 了什么？由此你能 得到什么结论结论 ？ 可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴 如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ O A B C D E 活 动 二 （1）是轴对称图形直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE 弧： ， 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. O A B C D E CDAB, CD是直径, AE=BE, AC =BC, AD=BD. 符号语言图形语言 （1）如何证证明？ O AB C D E 已知：如图图，CD是O的直径 ，AB为为弦，且AE=BE. 证证明：连连接OA，OB，则则 OA=OB AE=BE CDAB AD=BD, 求证证：CDAB，且 AD=BD, AC =BC AC =BC 垂径垂径定理定理&三角形三角形 d + h = r d h a r 有哪些等量关系？ 在a，d，r， h中，已知其中任 意两个量，可以 求出其它两个量 经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件。 解决有关弦的问题 垂径定理推论论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对对的两条弧。 CDAB, CD是直径， AE=BE AC =BC, AD =BD. O AB C D E （2）“不是直径”这这个条件能去掉吗吗？如果 不能，请举请举 出反例。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对对的两条弧。 O A B C D 1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求O的半径 O AB E 练习 解： 答：O的半径为5cm. 在Rt AOE 中 2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形 ADOE是正方形 D O A B C E 证明： 四边形ADOE为矩形， 又 AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形. 课堂讨论 根据已知条件进行推导： 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个. 试一试 1.判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分 弦所对的两条弧. ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧. ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ( )(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 1.已知P为O内一点，且OP2cm，如 果O的半径是3cm,那么过P点的最短的 弦等于 . E D C B A P O 2.过O内一点M的最长弦长为4厘米，最短 弦长为2厘米，则OM的长是多少？ O M A 2、如图图，点P是半径为为5cm的O内一点，且 OP=3cm, 则过则过 P点的弦中， （1）最长长的弦= cm （2）最短的弦= cm （3）弦的长长度为为整数的共有（ ） A、2条 b、3条 C、4条 D、5条 A O C D 5 4 P 3 B 3、如图图，点A、B是O上两点，AB=8,点 P是O上的动动点（P与A、B不重合）,连连接 AP、BP,过过点O分别别作OEAP于 E,OFBP于F,EF= 。4 O A B O A B 已知O的半径为5厘米，弦AB的长为8厘米 ，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的 距离。 E E D D 练习 1.过过o内一点M的最长长的弦长为长为 10,最短弦长为长为 8 ,那么o的半径是 2.已知o的弦AB=6,直径CD=10,且ABCD,那 么C到AB的距离等于 3.已知O的弦AB=4,圆圆心O到AB的中点C的距离为为1 ,那么O的半径为为 4.如图图,在O中弦ABAC, OMAB,ONAC,垂足分别为别为 M, N,且OM=2,0N=3,则则AB= , AC= ,OA= B A M C ON 5 1或9 6 4 Cm 归纳： 已知：直径，弦长，弦心距， 拱高四者知其二，即可根据勾股定 理求出另外的两个量。 AMBM， CMDM 垂径定理的推论垂径定理的推论2 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 M O AB N CD 证明：作直径MN垂直于弦AB ABCD 直径MN也垂直于弦CD AMCM BMDM 即 ACBD AB CD 两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的两侧 垂径定理的推论2 有这两种情况： O O AB CD C D AB E 已知：AB 求作：AB的中点 点E就是所求AB的中点 作法： 1 连结AB 2 作AB的垂直 平分线 CD，交 AB于点E 小练习小练习 A B C DE 已知：AB 求作：AB的四等分点 作法： 1 连结AB 3 连结AC 2 作AB的垂直 平分线 ，交AB 于点E 4 作AC的垂直 平分线 ，交AC 于点F 5 点G同理 点D、C、E就是AB的四等分点 A B C 作AC的垂直平分线 作BC的垂直平分线 等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线 C AB O 你能确定AB的圆心吗？ 作法： 1 连结AB 2 作AB的垂直 平分线 ，交AB 于点C 3 作AC、BC的 垂直平分线 4 三条垂直平分 线交于一点O 点O就是AB的圆心 你 能 破 镜 重 圆 吗 ？ A B C m n O 作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n， 交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆 作法： 依据： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧 问题问题 ：你知道赵赵州桥吗桥吗 ?它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥桥, 是我国古代人民勤劳劳与智慧的结结晶它的主桥桥是圆圆 弧形,它的跨度(弧所对对的弦的长长)为为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为为7.2m，你能求出赵赵洲桥桥主桥桥拱的半径吗吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解得：R279（m） B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在RtOAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.72+（R7.2 ）2 赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 在图中 如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O， 半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高 某圆直径是10,内有两条平行弦, 长度分别为6和8 求这两条平行弦间的距离. 船能过拱桥吗? 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为 7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、 船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经 过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 船能过拱桥吗 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根