算法、框图、复数、推理与证明11-3推理与证明.ppt

n重点难点 n重点：掌握合情推理和演绎推理 n能熟练地运用综合法和分析法证题 n理解反证法，掌握反证法证题步骤 n难点：用综合法、分析法、反证法证题的思 路 n知识归纳 n1推理的概念 n根据一个或几个已知判断(事实或假设)得出 一个新的判断的思维过 程叫推理，推理一般 由两部分组成：前提和结论 n推理一般分为合情推理和演绎推理两类 n2合情推理 n前提为真时，结论 可能为真的推理叫合情 推理，数学中常见的合情推理是归纳 推理 和类比推理 n归纳 推理和类比推理都是根据已有的事实 ，经过观 察、分析、比较、联想，再进行 归纳 、类比，然后提出猜想的推理 n(1)归纳 推理 n根据一类事物的部分对象具有某种性质， 推出该类 事物的所有对象都具有这种性质 的推理，叫做归纳 推理，归纳 推理是由部 分到整体，由特殊到一般的推理 n归纳 推理的一般步骤： n通过观 察个别情况发现 某些相同性质 n从已知的相同性质中推出一个明确表述的 一般性命题(猜想) n(2)类比推理 n根据两类不同事物之间具有的某些类似(或 一致)性推测其中一类事物具有与另一类事 物类似(或相同)的性质，这样 的推理叫类比 推理 n类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式， 类比的结论 可能是真的所以类比推理属 于合情推理 n类比推理的一般步骤： n找出两类事物之间的相似性或一致性 n用一类事物的性质去推测另一类事物的 性质，得出一个明确的命题(猜想) n3演绎推理 n根据一般性的真命题(或逻辑规则 )推导出 特殊性命题为 真的推理形式称作演绎推理 n它的特征是：当前提为真时，结论 必然为 真 n(1)假言推理 n假言推理的规则 是：“若pq，p真，则q真” n它的本质是，通过验证结论 的充分条件为 真，从而判断结论为 真 n(2)三段论推理 n“若bc，ab，则ac”，这种推理规则 叫三段论推理它包括： n(1)大前提已知的一般性原理M是P n(2)小前提所研究的特殊情况S是M n(3)结论 根据一般原理，对特殊情况做 出的判断S是P，三段论推理是演绎推理 的一般模式 n(3)关系推理 n推理规则 是：“如果aRb，bRc，则aRc”(其 中R表示具有传递 性的关系)，这种推理叫 关系推理，如：由ab，bc，推出ac， 若ab，bc，则ac，都是关系推理 n(4)完全归纳 推理 n把所有情况都考虑在内的演绎推理规则 叫 做完全归纳 推理 n4直接证明 n直接证明是从命题的条件或结论 出发，根 据已知的定义、公理、定理、法则等，直接 推证结论 的真实性 n(1)综合法 n从已知条件出发，经过 逐步推理，最后达 到待证结论 是一种由因导果的方法 n(2)分析法 n从待证结论 出发，一步一步寻求结论 成立 的充分条件，最后达到题设 的已知条件或已 被证明的事实，是一种执果索因的方法 n分析法的特点是：从“未知”看需知，逐步靠 拢“已知”，其每步推理都是寻求使每一步结 论成立的充分条件，直到最后把要证明的 结论归纳为 判定一个明显成立的条件为止 n综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步 推向“未知”，其每步推理都是寻找使每一步 结论 成立的必要条件 n5反证法 n一般地，由证明pq，转向证明 qrt，而t与已知矛盾或与某个真命 题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的证 明方法叫做反证法 n数学中的命题，都有题设 条件和结论 两部 分，反证法是从否定这个命题的结论 出发 ，通过正确、严密的逻辑 推理，由此引出 一个新的结论 ，而这个新结论 与已知矛盾 ，得出结论 的反面不正确，从而肯定原结 论是正确的一种间接证明方法 n这里所谓的“与已知矛盾”主要是指： n(1)与假设自相矛盾 n(2)与数学公理、定理、公式、法则、定义 或已被证明了的结论 矛盾 n(3)与公认的简单 事实矛盾 n反证法主要适用于以下情形： n结论 本身是以否定形式出现的一类命题 ； n关于唯一性、存在性的命题； n结论 以“至多”、“至少”等形式出现的命题 ； n结论 的反面比原结论 更具体、更容易研 究的命题； n要证的结论 与条件之间的联系不明显， 直接由条件推出结论 的线索不够清晰的命 题 n如果从正面证明，需要分成多种情形进行 分类讨论 ，而从反面进行证明，只要研究 一种或很少的几种情形 n误区警示 n在进行类比推理时要尽量从本质上去类比 ，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表 面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类 比的错误 n注意区分演绎推理和合情推理，当前提为 真时，前者结论一定为真，后者结论可能为 真！ n解题技巧 n1分析法的思维是逆向思维，因此在证题 时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连 接词 n2综合法往往是分析法的逆过程，表述简 单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析 法、综合法结合起来使用，即：分析找思路 ，综合写过程 n3用反证法证题时，首先要搞清反证法证 题的方法，其次注意反证法是在条件较少， 不易入手时常用的方法 n反证法还常常用在要证的结论 中含有许多 种情形，而结论 的反面则有较少或仅一种 情形的命题的证明中，要注意否定原命题 时，要准确无误 n应用反证法证明数学命题的一般步骤： n(1)分清命题的条件与结论 n(2)做出与命题结论 相矛盾的假设； n(3)由假设出发，应用演绎推理方法、推出 矛盾的结果 n(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所做 假设不真，从而肯定原命题为 真 n例1 平面内有n条直线，其中任何两条都 不平行，任何三条不过同一点，试归纳 它 们的交点个数 n解析：n2时，交点个数：f(2)1. nn3时，交点个数：f(3)3. nn4时，交点个数：f(4)6. nn5时，交点个数：f(5)10. n平面内一条直线可将平面分成两部分，两条 直线最多可将平面分成4部分，三条直线最 多可将平面分成几部分？4条呢？猜想n条直 线最多可将平面分成几部分？ n解析：3条直线最多可将平面分成7部分，4 条直线最多可将平面分成11部分如图 n点评：归纳出的一般性结论，要能使已知的 结论为其特殊情形. n例3 (文)在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2 AC2BC2.”拓展到空间，类比平面几何定 理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的 关系，可以得出的正确结论 是：“设三棱锥 ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两 相互垂直，则_” n答案：SABC2SACD2SADB2SBCD2 n(理)如图(1)，过四面体VABC的底面内任 一点O分别作OA1VA，OB1VB， OC1VC，A1，B1，C1分别是所作直线与 侧面交点 n证明：如图(2)，设平面OA1VABCM， 平面OB1VBACN，平面OC1VCABL ，则有MOA1MAV， NOB1NBV，LOC1LCN.得 n点评：(1)用现代的眼光看，类比就是两个 同构关系的模型间的推理，模型间的同构关 系，即它们结构或功能上存在的某种对应性 (相似性)，它是进行类比推理的依据 n(2)本例中的三角形与四面体就是平面与空 间中的两个常见具有同构关系的模型，因而 四面体中的很多性质及证明方法都可以通过 三角形中的性质及证明方法类比得到 n(3)数学中其他一些常见的具有同构关系的 模型有：等式与不等式、分数与分式、椭圆 与双曲线、等差数列与等比数列、长方形与 长方体、圆与球等 n点评：本例从结构上类比，从等差数列“和 式的差”类比到等比数列“积式的商” n分析：本题主要考查用分析法证明不等式及 分析问题、解决问题的能力可先令x、y为 具体的值，确定出常数C，再给出一般证明 n总结评述：当要证的不等式较复杂，两端差 异难以消除或者已知条件信息量太少，已知 与待证间的联系不明显时，一般可采用分析 法，分析法是步步寻求不等式成立的充分条 件，而实际操作时往往是先从要证的不等式 出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考 虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程 ，能培养学生的发散思维能力，也是分析问 题、解决问题时常用的思考方法. n例6 设有长度分别为 a1、a2、a3、a4和a5 的5条线段，今知其中任何3条都可以构成一 个三角形，证明：其中必有锐角三角形 n证明：为了便于叙述，不妨设 a1a2a3a4a5，并设由它们中的任何3条 组成的都不是锐角三角形，则由余弦定理可 得： na32a12a22，a42a22a32，a52a32a42 ， n有a52a32a42(a12a22)(a22a32) na122a22a32a122a22a12a22 2a123a22. na522a123a222(a12a22)a22 n(a12a22)(a12a22)a22 na122a1a2a22(a1a2)2. na5a1a2.a1，a2，a5能构成三角形的 三边， n有a5SBOCSCODSBODSBCD； n2(2010福建文)观察下列等式： ncos22cos21； ncos48cos48cos21； ncos632cos648cos418cos21 ； ncos8128cos8256cos6160cos4 32cos21； ncos10mcos101280cos8 1120cos6ncos4pcos21. n可以推测，mnp_. n答案 962 n解析 由题易知：m29512，p510 50 nm12801120np11， nmnp162. nn400，mnp962. n3某资料室在计算机使用中，编码 以一定 规律排列，且从左至右以及从上到下都是无 限的，如表所示， 111111 123456 1357911 147101316 159131721 1611162126 n则此表中主对角线上的数构成的数列 1,2,5,10,17，的通项公式为_ n答案 ann22n2，nN* n解析 由编码可得，第m行是首项为1，公 差为m1的等差数列，则第m行的第n个数 为1(n1)(m1)，令mn，则有an1 (n1)(n1)n22n2，nN*. n4先解答(1)，再根据结构类比解答(2)： n(1)已知a，b为实 数，且|a|ab. n(2)已知a，b，c均为实 数，且|a|abc. n解析 (1)ab1(ab)(a1)(b1)0. n(2)|a|abc， nabc2(ab)c11(abc)1 (ab1)cabc. n你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论 吗？ n即xiR，|xi|0)(nN*) n(1)求证数列an是等比数列，并求an； n(2)已知集合Ax|x2a(a1)x，问是否 存在实数a，使得对于任意的nN*，都有 SnA？若存在，求出a的取值范围；若不 存在，说明理由 n解析 (1)当n1时，(a1)S1a(a11) ， na1a(a0)