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第三章 晶体的定向和晶面符号 crystal orientating 相互 垂直的L2, 或相互垂直的对 称面法线, 或适当的晶棱为 x, y 轴 z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平 斜方晶系的定向斜方晶系的定向: : 晶体几何常数: a = b = g = 90, a b c 三个相互垂直的 L2为 z, x, y 轴; 或L2 为z轴, 相互垂直的 对称面法线为 x, y 轴。 z 轴直立， y 轴左 右水平，x 轴前后 水平。 单斜晶系的定向单斜晶系的定向: : 晶体几何常数: a = g = 90, b 90 a b c L2为 y 轴; 或对称面法线为 y 轴，z 轴起立， y 轴左右 水平， x 轴前后向前下倾斜。 三斜晶系的定向三斜晶系的定向: : 晶体几何常数: a b g 90 a b c 适当的晶棱为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴 左右， x 轴前后。 三方和六方晶系的四轴定向：三方和六方晶系的四轴定向： 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60交角的L2或P 的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴 晶体几何常数: a = b = 90, g =120, a = b c z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30 请注意: 在晶体的宏观形态上根据对 称特点选出的三根晶轴，与晶体内部结 构的空间格子的三个不共面的行列方向 是一致的。 为什么?因为空间格子中三个不共面的 行列也是根据晶体的对称性，人为地画 出来的。而晶轴也是根据晶体的对称性 ，人为地选出来的。晶体的内部对称与 晶体的宏观对称是一致的，所以晶轴与 三个行列就是一致的。 在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; ,), 这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和 晶轴之间的夹角。 晶体外形不可能知道轴单位,但根据对 称性可以知道轴单位之间的比值关系,即 ： a:b:c 例如, 等轴晶系的 a:b:c =? 四方晶系的 a:b:c =? 我们将a:b:c (轴率), ,(轴角), 轴率与轴角统称晶体常数。见下表。表 中列出的是晶体常数特点。因为根据晶 体的宏观形态只能定出晶体常数特点,不 能定出晶体常数。 各晶系的晶体几何常数特点各晶系的晶体几何常数特点 等轴晶系：a = b = c，a = b = g = 90； 四方晶系：a = b c，a = b = g = 90； 三方和六方晶系：a = b c，a = b = 90，g = 120； 三方晶系菱面体格子：a = b = c，a = b = g 60 90 1092816 斜方晶系：a b c，a = b = g = 90； 单斜晶系：a b c，a = g = 90，b 90； 三斜晶系：a b c，a b g； 晶系 选轴原则 晶体常数特点 等轴晶系以互相垂直的L4或Li4为X、Y、Z轴 a = b = c a = b = g = 90 四方晶系L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂 直的L2或P的法线为X、Y轴 a = b c a = b = g = 90 三方晶系 及六方晶系 以L3或 L6 或Li6 为Z轴，以垂直Z轴并 彼此交角120的L2或P法线为X、Y、 U a = b c a = b = 90 g = 120 斜方晶系以互相垂直的L2或P的法线为X、Y、 Z轴 a b c a = b = g = 90 单斜晶系以L2或P的法线为Y轴，以垂直于Y轴 的主要晶棱方向为X、Z轴 a b c a = g = 90 b 90 三斜晶系以三个主要的晶棱方向为X、Y、Z轴 a b c a b g 三、对称型的国际符号 （一）对称型的国际符号表示法 q只写出对称型中的三类对称要素 只写出对称轴，对称面，旋转反伸轴，其它对称要素 可根据组合定理推导出来 q国际符号中对称要素的表示法 对称面：m 对称轴：以轴次的数字表示，如1、2、3，4和6； 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号，如1、2、3、 4和6。 由于1=Li1=C 2=Li2=P=m，习惯用1代表对称中心m代 表2。 对称型的国际符号的书写： q符号位数：是由不超过三个的位组成 q符号顺序：依不同晶系的规定排列 q符号表示：每个位分别表示晶体该方向上 所存在的全部对称要素。 即： 平行的对称轴或旋转反伸轴 垂直的对称面 当这两类对称要素在同一方向上同时 存在时，则写成分式的形式，例如， 4/m)。不存在对称要素时，则将该位 空着。 每个晶系的国际符号写法见表42(此表很 重要，要熟记！). 举例： L2PC 的国际符号的写法 qL2PC属于单斜晶系，只一个位，代表 方向b0 q第1方向(Y轴)上的对称要素，一个L2 和垂直的对称面P，写成2m。 q第二、第三位空着。 q在此符号中没有写出c，它可根据组合 定理推导出来。 举例：L44L25PC的国际符号的写法 qL44L25PC四方晶系，国际符号三个位的方向：c0、a0、 (a0+b0)。 q第I方向(Z轴) c0：L4(4)和垂直L4对称面P(m)，写做4/m ； q第方向(X轴) a0 ：一个L2(2)和垂直的对称面P(m)， 写做2/m； q第位(X轴与Y轴的角平分线) (a0+b0) ：一个L2(2)和 垂直的对称面P(m)，写做2/m。 q将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。其余的没 有直接写出来，但根据组合定理可由符号中写出的对称 要素推导出来。实际上简化成4mmm仍然可以导出对称 型的全部对称要素。所以，L44L25PC的国际符号通常都 写成4mmm。 根据国际符号判断所属晶系 q低级晶族对称特点判断：无2无m者为三 斜晶系；2或m不多于1者为单斜晶系；2或m ，多于1者为斜方晶系。 q国际符号中一个高次轴时，首位符号定 晶系。如首位是4或4者为四方晶系； q国际符号中第二位是3或3者为等轴晶系 。 四、晶面符号 1、晶面符号的概念 它是根据晶面(或晶体中平行于晶面的其 他平面与各结晶轴的交截关系，用简单的数字 符号形式来表达它们在晶体上方位的一种晶体 学符号。 目前国际上通用的都是米氏符号(Millers symbol)，亦称米勒符号。 (hkl) (hkil) 晶面指数 2. 晶面符号的产生 某晶面在X,Y,Z轴上的截距为 2a,3b,6c, 那么截距系数为 2, 3, 6, 倒数为1/2, 1/3, 1/6, 化简以后的倒数比为3:2:1, 写做(321),这就是该晶面的米氏符 号。 注意：三个晶轴上的轴单位不一定 相等，所以，截距系数与截距不一 定成正比。 晶面符号有正负之分。 (321) 截距系数的倒数比 四轴定向的晶面符号 定义同三轴定向，指数的排列顺序依次为X、Y、U 和Z轴，轴率为1：1：1：C，C=c/a， 用(h k i l)的形式表达， h:k:i:l=1/OX:1/OY:1/OU:1/OZ 由于X、Y和U轴相交120，不难证明： h+k+i=0 考察晶体模型晶面的晶面符号： CubeOctahedron （111） （111） _ （111） _ _ （111） _ （100） （010） （001） 五、晶棱符号、晶带与晶带定律 1、晶棱符号：表征晶棱方向的 符号，所有平行的晶棱具有 同一个晶棱符号。 晶棱符号只涉及方向, 不涉及 具体位置。 截距系数比：表达为u v w u:v:w = MR/a : MK/b : MF/c u v w = u v w 此例：u v w = 1 2 3 2、晶带: ( (zone)zone) 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合。 晶带轴晶带轴( (zone axis)zone axis) 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的所 有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交棱方 向。 晶带符号晶带符号( (zone symbol)zone symbol) 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示。 一个晶体上有多少个方向的晶棱，就有多少个晶带， 实际晶体上的晶带是为数不多的。 晶带符号 例如例如 (110), (100), (110), (010) 的交棱相互平行，组成一 个晶带; 直线CC即可表达 为此晶带的晶带轴 此组晶棱的符号,即该晶 带轴的符号，为001（或 者001）晶带 3、晶带定律(zone law)(zone law) 德国结晶学家魏斯提出：晶体上任何一个 晶面至少属于两个晶带。 也可以表述为：任意两晶棱（晶带）相交 必可以决定一个可能晶面，而任意两个晶 面相交必可决定一可能晶棱（晶带）。 晶体形态如图。回答下列问题： 对称型，所属晶族和晶系； 如何进行晶体定向？ 各晶面的晶面符号； 单形名称和单形符号。 第四章 单形和聚形 单形的概念 47种几何单形和146种结晶学单形 单形的命名 聚形及聚形分析 按晶体上的晶面种类，可将晶体的理 想形态分为两类：一类是由等大同形的一 种晶面组成，称为单形，几何形态不同的 单形只有47种。另一类是由两种或两种以 上的晶面所组成，称为聚形。根据聚形上 不同的晶面种类，可确定构成该聚形的单 形数目及单形名称。 1、单形( (simple form)simple form) ： 是由对称要素联系起 来的一组晶面的组合。 也就是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所 有对称要素操作而使它们相互重复的一组晶面。 单形中所有晶面性质、大小、形状完全等同。 2、146中结晶学上不同的单形 根据单形的定义，有如下结论： (1) 若已知某个单形中的任一晶面，那么，通 过对称型中全部对称要素的作用后，必可导 出该单形的所有晶面，即整个单形本身； (2) 在不同的对称型中，由于彼此间在对称要 素的种类及数目上是有区别的，因而将导出 不同的单形； （3）在同一对称型中，若单形的晶面与对称 要素间的相对方位关系不同，则导出的单形 亦不同。 晶面与对称要素间的三种关系： 垂直： 单面 平行： 四方柱 斜交： 四方锥 对于32种对称型，总共可推导出146种结晶学上不同 的单形。 几何上不同的47种单形 如果仅从几何性质考虑，即只考虑组成 单形的晶面数目，各晶面间的几何关系 （垂直、平行、斜交等），整个单形单 独存在时的几何形状，而不考虑单形的 真实对称性时，146种结晶学上不同的单 形便可归并为几何性质不同的47种几何 学单形。 3.单形命名的依据： (1)整个单形的形状，如柱、锥、立方体等； (2)横切面的形状，如四方柱、菱方双锥等； (3)晶面的数目，如单面、八面体等； (4)晶面的形状，如菱面体、五角十二面体等 。 1）低级晶族，共有七种。 A、单面，晶面为一个平面。 B、平行双面，晶面为一对相互平行的平面。 C、双面，又分反映双面及轴双面，为一对相交平面。 D、斜方柱，由四个两两平行的晶面组成，晶棱平行，横切面 为菱形。 E、斜方单锥，四个全等不等边三角形组成，晶面相交于一点 ，底面为菱形，锥顶为L2出露点。 F、斜方四面体，由四个全等不等边三角形组成，晶面互不平 行，每棱的中点为L2出露点，通过晶棱中点的横切面为菱形。 G、斜方双锥，由两个相同的斜方单锥底面对接而成。 2）中级晶族，有一个高次轴的单形。晶面垂 直高次轴可出现单面和平行双面。此外还有25种 。 A、柱类由若干晶面围成柱体，它们的棱相互平行 ，且平行于高次轴，按切面形状分为6种：三方柱 、复三方柱，四方柱、复四方柱，六方柱、复六 方柱。（复方柱之横切面两相邻内角不等，两相 间内角相等）。 B、单锥类:若干等腰三角形晶面相交高次 轴于一点，底面垂直高次轴，形状与柱同 ，有6种单形：三方单锥、复三方锥，四方 单锥、复四方单锥，六方单锥复六方单锥 。 C、双锥类:两相同的单锥底面对接而成。 有六种单形。三方双锥、复三方双锥，四 方双锥、复四方双锥，六方双锥、复六方 双锥。 D、四面体类有两种。 四方四面体由四个互不平行的等腰三角形 组成，相间二晶面的底相交，棱的中点为 L2或Li4的出露点，通过腰中点的横切面为 正方形。 复四方偏三角面体将四面体的晶面平分为 两个不等边三角形，对称要素的分布同四 方四面体，过中心的横切面为复四边形。 E、菱面体类有两种。菱面体，由六个两两 平行的菱形晶面组成，上下错开60度。复三 方偏三角面体，将菱面体晶面沿高次轴方向 平分成两个三角形。 F、偏方面体，晶面为偏四方形，与双锥类 似，上下与高次轴各交于上一点，但错开 一定角度，此类有：三方偏方面体，四方 偏方面体，六方偏方面体。且分左右形。 3）高级晶族单形，共有15个。 A、四面体组：晶面为四个等边三角形或将 等边三角形分割成三个或六个三角形、四边 形、五边形、晶面垂直L3，晶棱中点垂直L2 或Li4.有四面体，三角三四面体，四角三四 面体，五角三四面体，六四面体。 B、八面体组由八个等边三角形组成，晶面 分割方式与四面体组完全相同。有八面体 、三角三八面体、四角三八面体、五角三 八面体、六八面体。 C、立方体组由六个正方形晶面组成，晶棱 以直角相交。有立方体及四六面体两种。 D、十二面体组 菱形十二面体，由12个菱形晶面组成，两平 行，相邻晶面成120度或90度相交。 五角十二面体12个五边形组成，五边形有四 边长相等，另一边长不等。 偏方十二面体垂直平分五角十二面体的不等 长边所形成的二十四面体。 单形符号单形符号（形号）：以简单的数字符号的形 式来表征一个单形的所有组成晶面及其在晶 体上取向的一种结晶学符号。 单形符号的构成单形符号的构成：在同一单形的各个晶面中 ，按一定的原则选择一个代表晶面，将它 的晶面指数顺序连写而置于大括号内，例 如写成 h k lh k l 用以代表整个单形。 按“先前、次右、后上先前、次右、后上” 的法则选择代表 晶面; 四方晶系 上 Z轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 前X轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 右 Y轴正端 (111)，(111)，(111)，(111) 111 有关单形的几个概念： 1 1、开形、开形( (open form)open form)和闭形和闭形( (closed form):closed form): 由一个单形本身的全部晶面不能围成封闭 空间的单形, 称为开形, 否则为闭形。单面、 平行双面以及各种柱和单锥共17种单形为开 形; 闭形共有30种; 2 2、左形、左形( (left-hand form)left-hand form)和右形和右形( (right-hand right-hand form):form): 形状完全相