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第六节 微积分基本定理 一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿莱布尼茨公式 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一、问题的提出 考察定积分 记积分上限函数 二、积分上限函数及其导数 设函数 在区间 上连续，并且设 为 上的一点， 积分上限函数的性质 证 定理 如果 在 上连续，则积分上限的 函数 在 上 具有导数， 且它的导数是 由积分中值定理得 例1 解 一般地 例2 解 解 一般地有 例3 解 一般地有 例4 例5 (1)求 解 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. (2)求 解 (这是 型不定式) 例6 解 例7 解 证 证 令 例10 证明 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系. 定理 3（微积分基本公式） 证 三、牛顿莱布尼茨公式 令 令 牛顿莱布尼茨公式 微积分基本公式表明： 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题. 例1 求 原式解 例2 求 解 例3 设 , 求 . 解 例4 求 解 由图形可知 注: 1. 分段函数求定积分: 利用区间可加性,用分段点把积分区 间分成若干段,变成若干个积分. 2. 若被积函数为绝对值函数, 应先去掉 绝对值化为分段函数. 3. 若被积函数为偶次根式, 化为绝对值 函数再去掉绝对值化为分段函数. 例5 求 解 例6 求 解 解 面积 解 例8 设 求 设 则 3.微积分基本公式 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 四、小结 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分
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