《两种基本积分法》PPT课件.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 二、分部积分法 第三节 一、换元积分法 两种基本积分法 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法 基本思路 第一类换元法 设 可导, 则有 第一类换元法 目录 上页 下页 返回 结束 1. 不定积分的换元法则(I) 定理3.1 (也称配元法, 凑微分法) 即 设是连续函数， 值域含于f 的定义域，则 有连续的导数，且 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 令则故 原式 = 注: 当时 注意换回原变量 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 令则 想到公式 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 想到 解: (直接配元) 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 类似 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 原式 = 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 原式 = 例7. 求 解: 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求 解: 原式 = 例9. 求 解: 原式 = 目录 上页 下页 返回 结束 例10 求 解法1 解法2 两法结果一样 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解法1 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 同样可证 或 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 求 解: 原式 = 目录 上页 下页 返回 结束 例13 . 求 解: 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 原式 = 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 求 解: 原式 = 分析: 目录 上页 下页 返回 结束 例16. 求 解: 原式 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式: 万 能 凑 幂 法 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 提示: 法1 法2 法3 作业 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的换元法则II 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 目录 上页 下页 返回 结束 定理3.2 设是连续函数, 有连续的导数，且 证: 则 定号,则 由于定号，故存在反函数， 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 令则 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 令则 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解:令则 原式 目录 上页 下页 返回 结束 令于是 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 被积函数含有除采用三角 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . 或 代换外, 还可利用公式 2. 两个常用双曲函数积分公式 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 令 则 原式 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 ,则有 原式 令 目录 上页 下页 返回 结束 原式 例6. 求 解: 令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令或 令或 令或 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 设表示三角函数有理式 , 令 万能代换 t 的有理函数的积分 三角函数有理式的积分 则 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 令则 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 3. 定积分的换元法 定理3.3 设函数单值函数满足: 1) 2) 在上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 , 因此有则 则 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 . 2) 必须注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 配元不换限 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算 解: 令则 原式 = 且 目录 上页 下页 返回 结束 例2 计算