《定积分及其应用》word版.doc

第五章 定积分及其应用1.1 定积分及应用内容网络图定积分及其应 用定积分定义可积的条件性质计算方法中值定理13条基本性质性质变上限积分求导定理牛顿一莱布尼兹公式基本方法变量代换凑微分分部积分换元法应用微元法几何应用平面图形面积旋转体及一般立体的体积平面曲线弧长物理应用质量重心坐标转动惯量引力压力广义积分第一类广义积分（区间无界）第二类广义积分（被积函数无界）1.2 内容提要与释疑解难 定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。 定义 设函数f(x)在闭区间a,b上有定义，在闭区间a,b内任意插入n-1个分点将a,b分成n个小区间，记，作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是a,b的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数f(x)在a,b上的定积分，记作，即.否则称f(x)在a,b上不可积. 注1：由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。 注2：若存在，区间a,b进行特殊分割，分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。 注3：定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 若f(x)在a,b上可积，且则表示曲线与直线所围成的曲边梯形的面积. 同样，变力所作的功（其中f(x)是变力）变速直线运动的路程（是瞬时速度），密度不均质直线段 ,b的质量（其中是线密度）。规定 定性 若函数f(x)在闭区间,b上可积，则f(x)在,b上有界，反之不成立。 例 . 事实上，因为不论把0，1分割得多么细，在每个小区间中，总能找到有理数，无理数，知 知不存在。定理 若f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积.定理 若f(x)在闭区间a,b上只有有限个间断点且有界，则f(x)在a,b上可积.定理 若f(x)在闭区间a,b上单调，则f(x)在a,b上可积定积分的性质性质1 性质2 （线性运算法则）设在a,b上可积，对任何常数则.该性质用于定积分的计算与定积分的证明.性质3 （区间的可加性），若f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区间上可积，则不论a,b,c顺序如何，有该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质4 若f(x)在a,b上可积且则.性质5 若f(x),g(x)在a,b上可积且则性质6 若f(x)在a,b上连续，且f(x) 0则性质7 若f(x),g(x)在a,b上连续且但,则.性质8 若f(x)在a,b上可积，则.性质9 若f(x)在a,b上可积，m,M是f(x)在区间a,b上的最小值与最大值，则 性质4、5、6、7、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质10 （积分中值定理）若f(x)在闭区间a,b上连续，则至少存在一点，使而称为f(x)在区间a,b上的平均值，即闭区间a,b上连续函数f(x)的平均值是 注：这里的与是不同的。性质11 （推广的积分中值定理），设在a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则至少存在一点,使柯西-许瓦尔兹（Cauchyschwarz）性质12 设函数f(x)，g(x)在a,b上连续，则（1）（2）性质13 变上限积分求导定理 设f(x)连续，可导，则1.3 解题基本方法与技巧一、有关定积分命题的证明 利用积分中值理，定积分的13条性质，规定尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，可证明涉及到定积分的有关命题，包括方程根的存在性，适合某种条件的存在性及定积分的不等式等，证明方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。 1方程根的存在性 例1 设函数f(x)在0，1上连续，在（0，1）内可导，且证明在（0。1）内存在一点，使.证由积分中值定理知，在上存在一点c，使 且，由f(x)在(0，c)上连续，在0，c内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点使 例2 设函数f(x)在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的，使 证法一 令则有，又因为 , 所以存在，使因为若不然，则在内或F（x）sinx恒为正或F(x)sinx恒为负，均与矛盾. 但当时，知再对F(x)在区间上分别应用罗尔定理，知至少存在，使 即 证法二 由知，存在，使，因若不然，则在内或f(x)恒为正，或f(x)恒为负，均于矛盾. 若在内f(x)=0仅有一个实根，则由知，f(x)在内与内 异号，不妨设在内f(x)0，在内f(x)0，由f(x)在a,b上连续，必取到最小值m与最大值M，且R(f)=m,M，对于一切，都有由于得故至少存在一点，使，即 注：这题可作为结论记住 例8 设f(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上的导数连续且不变号，试证至少存在一点，使.（第二积分中值定理）证 由分部积分、推广的积分中值定理（例7）、区间可加性，有 例9 设f(x),g(x)在a,b上连续，证明至少存在一点,使 证 要证原等式成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，设，只要证 （1）成立，由F(t)在a,b上连续，在（a,b）内可导，F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知至少存在一点，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。 例10 设f(x),g(x)在a,b上连续，且，试证：至少存在一点，使 证 设由在 a,b上满足柯西定理的条件，知其中 例11 设f(x)是区间0，1上的任意一非负连续函数, （1） 试证存在，使在区间0，x0上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x0,1上以y=f(x) 为曲边的曲边梯形面积。 （2） 又设f(x)在区向（0，1）内可导，且，证明（1）中的x0是唯一的。 证法一 （1）要证原结论成立，只要证成立，只要证成立，只要证成立，只要证 成立，设，只要证F(x0)=0 （1）成立，由F(t)在0，1上连续，在（0，1）内可导，F（0）=F（1）=0，由罗尔定理知至少存在一点，使成立，即（1）式成立，由每一步可逆，故原等式成立。（2）设，则当时，又条件知，知所以在0,1上严格递减，故（1）中的x0是唯一的。 证法二 （1）设在区间内取x1，若在区间x1,1上，则在(x1,1)内任一点都可作x0，否则可设为连续函数f(x)在x1,1上的最大值，在区间0,x2上，作辅助函数，则连续，且 ，因而由根的存在定理知至少存在一点，使（2）证法同证法一. 例12 设f(x)在a,b有二阶连续导数，试证在a,b上至少存在一点c，使 证法一 令并在处展成泰勒公式，其中介于、之间，分别将代入得 （1） （2）（2）（1）得，其中，而.由导数的达布定理知，存在，使，因此 证法二 由泰勒公式展开式知，其中介于，之间.设，则，由，知至少存在一点，使或所以 注1：证法2中的是介于之间，变，也变，故不能提到积分号的前面注2：若 连续改成存在，只能用证法一，不能用证法二。 例13 设f(x)在-a,a上存在连续的二阶导数，f(0)=0，证明至少存在一点，使分析 由于涉及二阶导数且与函数f(x)有关，考虑用泰勒公式 证 由泰勒公式知其中介于0,之间，于是 因为在-a,a上连续，设，知，得，由，知至少存在一点，使即因此有 3、证明不等式 例14 设f(x)，g(x)在a,b上连续， 证明.（柯西许瓦尔兹（Cauchyschwarz）不等式） 证法一 要证原不等式成立，只要证成立。设只要证 （1）成立，由F(t)在a,b上连续，在（a,b）内可导，且 ，知F(t)在a,b上递增，由ba，知，即不 等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。 证法二 由，即 . （1）（i）若知即此时结论显然成立，不等式中取等号。（ii）若知（1）式的左边是t的一元二次函数，且该函数始终大于等于零，故判别式 即 注：证法一需要f(x), g(x)连续，证法二只需f(x), g(x)可积.例15 证明（a0，得,即不等式（1）成立，由每一步可逆，故原不等式成立。例25 设处处二阶可导，且设为任意连续函数，证明 （a0常数）.证 设，由知是凹的，在曲线点处的切线方程为对任意一点，由凹的定义知，于是 即例26 设上连续且为正值，证明证 由f(x)在a,b连续必可积，有把区间a,bn等分，则，有由不等式算术平均数大于等于几何平均数知两边取对数有 令得 有例27 设在a,b连续，证明证 由在a,b上连续必可积，把区间a,b分成n等分，于是由于知f(x)上凹，由凹的不等式知或令得 例28 设在区间上是严格递增且导数连续，它的反函数试证 证 由y=f(x)，根据分部积分不妨设，于是=例29 设f(x)在上有连续导数，且，（1）；（2）证 .解（1）由积分中值定理和微分中值定理有证（2） 由f(x)的有界性及积分不等式性质有，又 故有 ，即 二、定积分的计算及定积分等式的证明1定积分计算的方法（1）牛顿一莱布尼兹公式 若f(x)在a,b上连续,则 .（2）凑微分 （3）变量替换 （4）分部积分 设在上导数连续，则具体的用法是 如果能够计算出就可以计算出定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。（5）设f(x)在-a,a上连续，则事实上， 而故得证推论证 由于且为偶函数， 为奇函数，于是（6）设f(x)为周期函数且连续，周期为T，则.事实上由于于是（7）设f(x)在0,1上连续，则事实上 移项两边同除以2得.（8）事实上记 于是由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由故例30 计算.解 原式例31 计算.解 原式.例32 计算.解 原式 。例33 计算.解法一 原式 .解法二 令则于是原式 例34 计算 .解 令则时，时，。于是原式例35 设计算解法一 原式 xtt=x图5-1 解法二 例36 计算解 由于即于是原式例37 计算.解 利用方法（7）得原式例38 计算.解 设则于是原式例39 计算.解 利用区间的对称性与被积函数的奇偶性得原式 （利用定积分几何意义）.例40 计算.解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用得原式.例41 设f(x)在0，1上连续，计算解 设于是得例42 计算.解 原式由于所以原式例43 证明,并计算。证 由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而由于2n是偶数，故例44 设函数满足，且求解法一 由，于是有，解得，因此原式 解法二 同解法1，得例45 设函数f(x)在内满足且，计算解法一 解法二 当时，于是例46 设解 原式例47 设求.-1x0图5-2x解 由于(i)当时x0-1x原式图5-3(ii)当时原式注：由于|t|实际上是分段函数，故需要讨论x的范围，从而可把被积函数中的|t|换成相应的表达式。-1x0图5-41x例48 设的表达式。解 与上题解法类似，当时当时-10x图5-51x 例49 计算 。解 原式由于知b-a=1，设由令得知在0，1上可积，而此和式是把0，1n等分，取每个小区间的右端点得到的和式，故原式例50 设表示距离x最近整数的距离，计算解 由且为周期函数，周期为1，于是例51 计算.解 原式 .例52 设在0，2上连续，且求解 原式 2定积分等式的证明例53 证明 .证 例54 证明.证 例55 设f(x)在0,1上连续，试证：.证 由是为周期的函数，当然也是以为周期的函数，知也是以为周期的函数，于是 例56 证明.证 例57 证明.证 例58 设f(x)是以为周期的连续函数，证明.证 而 故. 3. 利用定积分及其性质研究函数的有关问题例59 设f(x)为连续函数，且解 设得例60 已知f(x)满足方程解 设 得两边平方后再积分有整理得 ，解得，所以例61 设连续函数f(x)满足 .解 令，有从而得到 ，令x=1有 例62 求连续函数f(x)，使满足解 代入等式并化简有，等式两边同时对x求导有 ，得 .于是 .例63 设连续函数f(x) 满足.解 设由于得.例64 求连续函数f(x)，使解 令则代入原式左边得 等式两边对x求导有 ，化简得 两边不定积分得 .令，代入上式有 ，又代入上式得，故例65 设函数f(x)在内连续，且，试证（1）若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数；（2）若f(x)递减，则F(x)递增。证（1）由，所以. （2） 其中介于0,x之间，又f(x)递减，当x0时，当，综上所述知，即F(x)递增。例66 证明：（1）f(x)是连续的奇函数，则偶函数；（2）偶函数的原函数仅有一个为奇函数。证（1）设为奇函数，知，于是故F(x)为偶函数.（2）由f(t)是偶函数，知设F（x）= 仅当是奇函数。例67 求函数在区间e,e2上的最大值.解 上单调增加，故例68 设函数f(x)在上连续，单调不减且试证函数在上连续且单调不减（其中n0）。证 当x0时，F(x)连续，由洛必达法则，得在F(x)在上连续又当x0时，其中，且f(x)为单调不减，有从而故F(x)在上单调不减.例69 设函数f(x)可导，且解 令于是例70 设证明（1），并由此计算In；（2）证（1）当n=2k时，；当n=2k+1时，其中（2）由时，有于是例71 设f(x)是连续的偶函数，设（1）证明(x)递增；（2）当x为何值时，F(x)取最小值；（3）若F(x)的最小值为. 由f(x)为偶函数，知xf(x)为奇函数，有于是 （1）由，令, 解得x=0，而递增。（2）由是唯一的极值且为极小值也是最小值，且（3）若，则有 .两边对a求导，得 .由，于是，由f(0)=1,代入得例72 证明：若上的连续函数f(x)满足关系式，则f(x)必为周期函数.证 设则.因而，又 ，即 所以f(x)是以1为周期的周期函数.三、定积分的应用微元法教材中讨论的曲边梯形面积、变力作功、变速直线运动路程、立体的体积等具有总量等于部分量之和的具体问题，可以将定积分解决实际问题的方法与步骤归结为如下四步：第一步:分割.通过在区间a,b内插入n 个分点，将a,b任意分为n个小区间，相应地把所求的量Q（如面积、功、路程、体积等）分为n个部分量且第二步:近似（求积分元）.在每个小区间上求出部分量的具有下面形式的近似值 （1）其中是上任一点，第三步:求和.然后将各部分量的近似值相加，得到所求量Q的近似值第四步:取极限.在上式中令，得 （2）从上面过程可以看出，在上述四步中，关键是在第二步中写出区间上的部分量它一旦确定后，被积表达式也就确定了.问题是之间存在什么关系（因为近似是一个模糊的量），它们之间近似的程度应满足什么要求.我们把（2）式写成列一般形式，设中的任何值都可以，自然也可以取它的左端点，即，这样（2）式就变成了区间上的部分量 （3）如何正确地写出这个近似表达式，使得积分恰好就是所求的量Q呢？我们采取由结果找原因的方法设（2）式中的f(x)在a,b上连续，如果所求的量Q可表示为 （4）那么（4）式实际上就是函数（区间a,x上的量的值）在处的值，即由于在a,b上连续，且区间很小，所以有，从而这里再次看到与相差很小，即近似相等，但两者近似到什么程度仍然不知道.实际上，由于由微分定义知因此（4）式中的应是的线性主部，所以是区间的部分量的线性主部.即所求的近似值应满足当时，的高阶无穷小，或者说若.在具体问题中，要检验所求的近似值是否为的线性主部或者说要检验当时是否是的高阶无穷小，往往不是一件容易事.因此，在求的近似值时要特别小心谨慎，要利用已知的实事，如直线段的长代替曲线段的长.f(x)连续时两点距离很近时，函数值近似相等，要尽可能的精确，由于我们求的是的线性主部，故在计算近似值的过程若出现的高阶无穷小可略去，剩下的式子仍是线性主部.有时，我们可以用实践检验结论的正确性。这样，我们把用定积分解决实际问题的步骤在认清实质的情况下，得到求的方法如下：根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量Q所分布的区间a,b且区间a,b的总量Q具有等于各小区间上部分量之和的特点.（1）取近似求微元.选取区间。写出部分量的近似值即要求是的线性主部即计算的过程中，可以略的高阶无穷小。这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法.（2）得微分. （3）计算积分. 注：第一步一定要把表示成x的函数与的乘积形式.如果在计算的近似值的过程中，不会产生的高阶无穷小，这时也可写成二步，即（1）选取求的线性主部，,（2）读者根据实际情况灵活选用.1求平面图形的面积（i）曲线围成的曲边梯形面积是.y=f2(x)x+dxbxxy=f1(x)a图5-6事实上，由所求平面图形面积S分布在区间a,b上.（1）选取，.（2）. 注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.（ii）特别地围成的平面图形面积S为.（iii）同理 所围成的平面图形面积S为.（iv）特别地所围成的平面图形面积S为.如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公式.求平面图形的步骤：（1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的过程中求交点）。2根据具体情形选择x或y作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。例72 计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。图 5-7解 由即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直线，曲线及直线所围成（图5-7），其面积.本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分S1及S2，分别计算S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。例73 计算曲线及直线所围成的平面图形面积。解 曲边形如图5-8所示，故有注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。图5-8图5-9例74 计算椭圆所围成的平面图形面积。解 由于椭圆关于Ox轴及Oy轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形面积S（图5-9）. 由，解得，故上半椭圆的方程是从而特别地，当时，得圆的面积注：计算平面图形面积时，尽可能利用图形的对称性，以简化计算。例75 求曲线 所围成平面图形的面积.解 解此方程，得当即时，y1及y2才有实数值。设则所求的面积为注：利用几何意义知表示半个圆面的面积。例76 在第一