向量组间的线性关系.ppt

第二节 一、线性相关与线性无关的概念 向量的 线性相关性 二、向量组的线性相关性的判别 三、线性组合与线性表示 第三章 一、线性相关与线性无关的概念 一组不全为0的数 设 为n元向量组，如果存在 ， 使 成立，则称向量组 线性相关。否则称 线性无。关 定义1 若线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当时， 式才成立。 线性相关。 例1 即 例2当向量组含两个非零向量时， 设， 线性相关与 对应分量成正比 与 即与的对应分量成比例 证明线性相关或 与 或 例3 对应分量不成比例，线性无关。 对应分量成比例，线性相关。 几何上说向量共线。 例4求证含有零向量的向量组必线性相关。 则此向量组必定线性相关。 证明 设向量组中 取数 必有 线性相关 线性相关.即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 定理1 证明 线性相关，因为 为0的数 使 成立，因此有 其中不全为零。 线性相关。 则存在一组不全 线性无关 线性无关. 即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 定理2 利用定理1，用反证法。 即：部分相关，整体相关！ 整体无关，部分无关！ 二、 向量组的线性相关性的判别 下面分别对数字表示的具体向量组的线性相关性 和用字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 已知 解设有数使得 例5 判别下列向量组的线性相关性 即 有 得同解方程组 得同解方程组 方程组的解 令 （k 为任意实数） 由 得 此向量组线性相关。 小结 首先设有数使得 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 第二步将 代入得齐次线性方程组。 方程组有非零解， 有 则称向量组 线性相关。 方程组只有零解， 则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。 定理3 有非零解 例6 线性相关 秩 判断 ， ， 的线性相关性. （无关） （只有零解） （秩 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 解 线性相关. 例7 判断下列向量组的线性相关性 解 线性无关. 解 线性相关. 推论2设m元向量组中含有n个向量, 当nm时， 此向量组必定线性相关。 推论1当m=n时，即向量维数=向量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 （1） 例8 判别下列向量组的线性相关性 含有零向量的向量组必线性相关 （2） 4个3维向量必线性相关 （3） 4个4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别。 二、 向量组的线性相关性的判别（续 ） 2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别 这种判别一般用定义法。 考虑 方程组只有零解， 试证向量组 整理得 即 证明一 ： 例9 也线性无关。 因为向量组 线性无关，所以必有 从而 线性无关。 设向量组线性无关， 证明二: 从而 R（B）= R（A）， 而向量组 线性无关，所以 R（A）=3 R（B）=3 可知向量组 也线性无关。 例10 证明 已知证明线性无关， 线性相关. 设存在数 已知 只有线性无关， 使得 即 故向量组线性相关。不全为零， 三、线性组合与线性表示 为组合系数. 称 设有m维向量组如果存在一组数 则称是向量组 的线性组合 定义2 线性表示。 称 可由 若存在一组数 使得 观察四个向量之间的关系有 例11 1、线性表示 因为 中每个向量都可由向量组本身（2）向量组 线性表示， （1）零向量可由任一组向量线性表示。 （3）任一m元向量 都可由m元单位向量组 , , + 线性表示， 即+ 2、线性组合 其中至少有一个向量是其余n1个向量的线性组合。 线性相关 证明=： 线性相关， 不全为0的数 则存在一组 使 不妨设，则 即是的线性组合 定理4 组合，即存在一组数 使 线性相关. 不全为0，由于 则 不妨设是其余向量的线性 = 设 即 =+ 若可由 线性表示，即： （1） 即非齐次线性方程组 有解。 定理5 设 是为 m 元（维）列向量组， 可由线性表示有解 其中 性质3A为阵， 经过有限次的初等行变换为B 则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系。 例11 已知 问是否可由线性表示？如能线性表示 解设有数 就写出表达式. 使 有唯一解 例12 已知 问是否可由 线性表示？ 如能线性表示 解设有数 就写出表达式. 使 同解方程组为 令得 k 为任一常数 例13 判断是否为向量组 的线性组合？ 解 设对矩阵 线性无关， 线性相关，则可由A线性表示且表法唯一。 定理6 已知向量组线性相关，线性无关。 证明 可由线性表示 不可