课时作业76柯西不等式与排序不等式.doc

课时作业76柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式时间：45分钟分值：100分一、填空题(每小题5分，共45分)1已知实数x、y、z满足x2y3z1，则x2y2z2的最小值为_解析：由(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21可得，x2y2z2.答案：2(2010广东东莞)若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是_解析：1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.答案：3已知函数y34，则函数的定义域为_，最大值为_解析：函数的定义域为5,6，且y0，y345，ymax5.答案：5,6；54已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，则a的最大值为_，最小值为_解析：由柯西不等式得(2b23c26d2)()(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，当且仅当时等号成立，代入b，c，d时，amax2，b1，c，d时，amin1.答案：215把一条长是m的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为_解析：设三段的长度分别为x，y，z，则xyzm，三个正方形的面积和为S()2()2()2(x2y2z2)因为(x2y2z2)(121212)(xyz)2m2，当且仅当xyz时等号成立，所以x2y2z2有最小值，从而S有最小值.答案：6已知ab1，则a2b2_.解析：由柯西不等式，得(ab)2a2(1a2)(1b2)b21，当且仅当时，上式取等号，ab，a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.答案：17若a0，b0，给出下列四个不等式：ab2；(ab)()4；ab；a2a.其中正确的不等式有_(只填序号)解析：a0，b0，ab222；(ab)()44；，a2b2(ab)(ab).ab；a(a4)424242，当且仅当a4，即(a4)21时等号成立，而a0，(a4)21.等号不能取得答案：8用数学归纳法证明(1)(1)(1)(1)(k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1)，最后一个是(1)，共有2k2k12k1项答案：(1)(1)(1)2k19用数学归纳法证明()n(a，b是非负实数，nN)时，假设nk命题成立之后，证明nk1命题也成立的关键是_解析：要想办法出现ak1bk1，两边同乘以，右边也出现了要求证的()k1.答案：两边同乘以二、解答题(共55分)10(15分)(2011江苏盐城)已知a、b、c为正数，且满足acos2bsin2c.求证：cos2sin2.解：由柯西不等式可得cos2sin2(cos)2(sin)2(cos2sin2)(acos2bsin2).11(20分)设x、y、z满足条件3x22y2z26，求函数S2x5y6z的最大值及S取最大值时x、y、z的值解：由柯西不等式，得()2()262(x)2(y)2z2(2x5y6z)2，(2x5y6z)2299，当即x，y，z时，2x5y6z有最大值.探究提升12(20分)设a1、a2、an是1、2、n的一个排列，求证：.证明：设b1、b2、bn1是a1、a2、an1的一个排列，且b1b2bn1；c1