高等数学课件--D42换元积分法.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 换元积分法 第四章 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导, 则有 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 一、第一类换元法 定理1.则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 令则故 原式 = 注: 当时 注意换回原变量 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 解: 令则 想到公式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 想到 解: (直接配元) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 类似 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 原式 = Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式: 万 能 凑 幂 法 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求 解: 原式 = Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求 解法1 解法2 两法结果一样 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求 解法1 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解法 2 同样可证 或 (P199 例18 ) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解: 原式 = Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例12 . 求 解: Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 求 解: 原式 = Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 原式 = 分析: Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 求 解: 原式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求 提示: 法1 法2 法3 作业 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 设是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证:令 则 则有换元公式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例16. 求 解: 令则 原式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例17. 求 解: 令则 原式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例18. 求 解:令则 原式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 令于是 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1. 被积函数含有除采用三角 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考 P204 P205 ) 或 代换外, 还可利用公式 2. 再补充两个常用双曲函数积分公式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 原式 例19. 求 解: 令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令或 令或 令或 第四节讲 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206) 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 (P206 公式 (20) ) 例20. 求 例21. 求 解: (P206 公式 (23) ) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例22. 求 解: 原式 = (P206 公式 (22) ) 例23. 求 解: 原式 (P206 公式 (22) ) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例24. 求 解: 令得 原式 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例25. 求 解: 原式 令 例16 例16 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令令 令 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知求 解: 两边求导, 得则 (代回原变量) Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44) 作业 第三节 Date同济高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 求下列积