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三次方程编辑 求根公式法，其中。红色字体部分为判别式：当时，方程有一个实根和两个共轭复根；当时，方程有三个实根：当时，方程有一个三重实根；当时，方程的三个实根中有两个相等；当时，方程有三个不等的实根。编辑 三角函数解，其中。若，则编辑 卡尔丹诺法令为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根，然后把方程除以，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。在一个代数封闭域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。解方程步骤： 把原来方程除以首项系数，得到：，其中，。 代换未知项，以消去二次项。当展开，会得到这项，正好抵消掉出现于的项。故得：，其中和是域中的数字。；。 记。前一方程化为。展开：。重组：。分解：。因为多了一个未知项（和代替了），所以可加入一个条件，就是： ，由此导出。 设和。我们有和因为。所以和是辅助方程的根，这方程我们已会解出。接下来，和是和的立方根，适合，最后得出。在域里，若和是立方根，其它的立方根就是和，当然还有和，其中是单位的立方根。因为乘积固定，所以可能的是，和。因此三次方程的其它根是和。编辑 判别式最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在里，就是的代数闭包。其中差异出现于和的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式， 若，方程有一个实根和两个共轭复根； 若，方程有三个实根：当时，方程有一个三重实根；当时，方程的三个实根中有两个相等； 若，方程有三个不等的实根： 其中 。注意到实系数三次方程至少有一实根存在，这是因为非常数多项式在和的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异号，又因为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。编辑 第一个例子解。我们依照上述步骤进行： （全式除以） 设，代换：，再展开。 ，。设和。和是的根。和，和。，该方程的另外两个根：，编辑 第二个例子这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。方程是。从函数算出判别式的值，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。前两步都不需要做，做第三步：，。和。和是的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。我们解出和。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设。等价于： （实部）（虚部）（模）得到和，也就是，而是其共轭：。归结得，可
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