矩阵的特征值与特征向量的理论与应用--安徽工程大学毕业设计（论文）.doc

安徽工程大学毕业设计（论文） - 1 - 引言引言 众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到 Sylvester 与 Cayley，特别 是 Cayley1858 年的工作。自从 Cayley 建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速 发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。近代数学的一些学科，如 代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。另一方面，作为 一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、 最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。同时， 这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。 特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值 的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。可以说，特征值与特征向 量问题是矩阵理论的基本核心问题。因此，掌握这方面的知识对于培养新的高 素质科技人才来说是必备的非常重要的。 矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。线性空 间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求 解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数 教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到 对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的 作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。 “特征”一词来自德语的 eigen，由希尔伯特在 1904 年首先在这个意义下 使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念） 。eigen 一 词可翻译为“自身的” ， “特定于.的” ， “有特征的”或者“个体的” ，这强调了 特征值对于定义特定的变换上是很重要的。 矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的 热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用 （如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题, 因而对其研究具有重要的理论和应用价值。 随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为 一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。在 多数高等代数教材中，特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换的特征值 与特征向量；而在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵 理论研究的一个重要组成。 矩阵的特征值应用于生活中的，为生活各类问题解决，创建有效的数学模 型提供了有效的工具，为解决问题提供有效的方法。矩阵的特征值与特征向量 是数学与其它科学研究的基础和工具。学习和研究数学，联系实际，通过数学 的工具来解决生活上问题。离开数学别的科学研究是寸步难行的，所以我们必 须重视数学，深入研究矩阵特征值与特征向量，从而促进所有科学的发展。 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 2 - 第第 1 1 章章 绪论绪论 1.1 研究背景及意义 矩阵是数学中重要的一个基本概念之一，是代数中的一个主要研究对象，也 是数学研究和应用的一个极其重要的工具。矩阵特征值与特征向量问题是矩阵 理论中的重要组成部分，它在高等代数与其他科技领域中占有非常重要的位置。 同时它又贯穿了高等代数中的方方面面，对该课题的研究加深了我们对高等代 数中各个部分的认识，从而使我们能更深刻的了解高等代数中的相关理论。对 矩阵特征值与特征向量理论研究及其应用探究，不仅仅提高高等代数以及相关 课程的理解有很大的帮助，而且在理论上也非常重要，可以直接用它来解决实 际问题.现在矩阵已成为独立的一个数学分支，矩阵的特征值与特征向量的应用 是体现在多方面的，不仅仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有 十分广泛的应用。 1.2 研究现状 在此之前已有很多专家学者都涉足此领域研究该问题。汤正华在2008年发 表的关于矩阵的特征值与特征向量的探讨讨论了矩阵的特征值与特征向量 的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。李延敏在关于矩阵的特征 值与特征向量同步求解问题中通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征 值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。邵丽丽 在2006年矩阵的特征值和特征向量的应用研究中通过对阶矩阵的特征值n 与特征向量的研究，针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探n 讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。向以华在矩阵的特征值与特征 向量的研究对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过 对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了 反问题。汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了 一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法， 论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤。郭华、刘小明在特征 值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵的特征值与特征向量的性质出发， 结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。王秀 芬在线性递推关系中特征值与特征向量的应用中推导出一种方法，通过此 方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。马巧云在特 征值法求解二次型的条件最值问题中根据Lagrange 乘数法求解条件最值问题 的原理，针对特殊的二次型条件最值问题，分析最值与特征值间的对应关系， 给出二次型条件最值问题求解的特征值方法，并结合例子说明特征值方法求解 的简便及有效，具有一定的应用价值。近年来，对矩阵特征值与特征向量的研 究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳。 对矩阵的特征值与特征向量的基本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与 特征向量的应用进行更深一步的探讨。 安徽工程大学毕业设计（论文） - 3 - 1.3 研究内容及方法 在前人的研究基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念与性质，特征 值和特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使这一工具的使 用更加的便利，解决问题的作用更强有力，它的应用也就更加广泛。在这基础 上，对矩阵特征值与特征向量的计算进行了详尽的阐述和说明。利用特征方程 来求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法以及矩阵的初等变换求特征值 与特征向量。由于矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍对 特征值与特征向量应用的探究,阐述了特征值与特征向量在矩阵运算中的作用， 利用特征值法求解二次型最值的问题和反求解问题的应用，以及特征值与特征 向量在其他方面的应用。在例题解析中运用了一些特征值与特征向量的性质与 方法，可以使问题更加简单，在运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有 效的途径。本文就是通过大量的例子来说明运用特征值和特征向量的性质可以 使问题更清楚，从而使高等代数中大量习题迎刃而解，也把特征值和特征向量 在解决实际问题中的优越性表现了出来。 第第 2 章章 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 定义 1：设是数域上线性空间的一个线性变换，如果对于数域中FV 一数，存在一个非零向量，使得 0 x xx= 那么称为的一个特征值特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量特征向量.x 2.1.2 阶方阵的特征值与特征向量n 定义 2：设是阶方阵，若存在数和维向量，使得Rn 0 n(0)X X 成立，则称为的特征值特征值，是对应于特征值的的特征向量特征向量. 0 RXX 0 RX 0 R 性质性质 1 1 若是的重特征值，对应于特征值有个线性无关的特征 t R t rR t t s 向量，则. tt sr 性质性质 2 2 若都是矩阵的属于特征值的特征向量,则当不全为零 12 ,x xR 0 12 ,k k 时, 仍是对应于特征值的的特征向量 1 122 k xk x 0 R 性质性质 3 3 若是矩阵中互不相同的特征值，其对应特征向量分别 12 , k R 为，则是线性无关的 12 , k x xx 12 , k x xx 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 4 - 性质性质 4 4 若的特征值为，则 ij t t Rr 12 , t ， 121122ttt rrr 12t R 性质性质 5 5 实对称矩阵的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正R 交 2.2 中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量,V p nR 之间的关系 定理:设是的一组基, 12 , n ,V p n L V 1212 , nn R 1）的特征值必是的特征值，的属于的特征向量 0 R 0 ，则必是的属于特征值的特征向量. 1 122nn xxx 12 , n x xxR 0 2）设是的一个特征值，且，则是的一个特征值.若 0 R 0 0 是的一个属于特征值的一个特征向量，则 12 , n x xxR 0 是的一个属于的特征向量. 1 122nn xxx 0 证明：1）设是的特征值，于是有使得，其中，设 0 0 0 = 0 ，则 1 122nn xxx ， 1 2 112212 , nnn n x x xxxR x = 又，所以有 0 = ， 11 22 12120 , nn nn xx xx R xx = 由他们的坐标列相等可得 ， 1 2 0 0 0 0 n x x ER x 所以其次线性方程组有非零解，于是，故是的 0 0ER X 0 0ER 0 R 特征多项式的根，即是的特征值，从而的坐标是的属于的特征向量. 0 RR 0 2）设是的一个特征值，且，于是 0 R 0 0 0ER 安徽工程大学毕业设计（论文） - 5 - 有非零解，令 0 0ER X 12 0, n n x xx ， nn xxxV 1 122 0 1 2 0 0 0 0 n x x ER x ，即，于是，故是的一个特征值， 11 22 0 = nn xx xx R xx 0 = 0 且是的属于的特征向量. 0 2.3 求数字方阵的特征值与特征向量 由方阵的特征值和特征向量的定义知:是的属于的特征向量 因为a 0A 所以是齐次线性方程组的非零解，所以是特征方程Aaaa0EA x 的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵的特征值和特征向 0 A fEA A 量的步骤如下: (1) 计算的特征多项式； A fEA (2) 解特征方程,求出它的全部根 ,它们就是的全部特0EA 12 , n A 征值。 (3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组的一个基1 i in 0 iE A x 础解系,这个基础解系便是的属于的线性无关的特征 12 , iiir aaaA1 i in 向量,则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: A i ,其中是不全为零的数. 1122iinir k ak ak a 12 , n k kk 例 3.1.1 设线性变换在下的矩阵是，求的特征值 123 , R 122 212 221 与特征向量. 解：因为特征多项式为 . ER 2 122 21215 221 所以特征值（二重）和 5.1 把特征值代入齐次方程组1 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 1220 2120 2210 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 6 - 得到 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 2220 2220 2220 它的基础解系是 ，. 1 0 1 0 1 1 因此属于的两个线性无关的特征向量就是1 ， 113 . 223 而属于的全部特征向量就是，取遍数域中不全为零的全部1 1 122 kk 1 k 2 k 数对.再用特征值 5 代入，得到 , , , xxx xxx xxx 123 123 123 4220 2420 2240 它的基础解系是 ， 1 1 1 因此，属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 ， 3123 而属于 5 的全部特征向量就是，是数域中任意不等于零的数. 3 kk 2.4 行列互逆变换法解特征值与特征向量 为了定理的叙述方便，先给出一个定义. 定义 1.把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1 . 互换 i、j 两列,同时互换 j、i 两行； ij cc ji rr 2 . 第 i 行乘以非零数，同时第 j 列乘；k k 1 3 . 第 i 行倍加到第 j 行，同时第 j 列倍加到第 i 列 .kk 定理 1 为 n 阶可对角化矩阵，并且A T n AE 一系列行列互逆变换 T DP 其中 安徽工程大学毕业设计（论文） - 7 - ，, , T iiin nn Pbbin 11 1 1 2 则为的全部特征值，为的对应的特征向量. 12 , n A T ii A i 证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的 性质及行列互逆变换的定义知，为若干初等矩阵的乘积，当然可逆，且 T P ，即， 1 TTT P APD 1 P APD 所以 .APPD 因为 ， 1 1 , n n DP 所以 ， 1 11nn n A 则 ， 111nnn AA 所以 0 ,1,2, . iiii Ain 因此，该方法求出的为的特征值，为的对应特征值的特征向量 i A i A i 为了运算上的方便，这里约定： 1.表示矩阵的第 j 行倍加入第 i 行； ij rkr k 2.表示矩阵的第 j 列的倍加入第 i 列 ij rkr k 由于用定理 1 求解时，总会遇到形如 或形 a A cb 1 0 ac Aab b 2 0 式的矩阵化对角阵问题，为此给出具体方法： T ac AE b 12 1 0 00 1 12 21 rkr rkr ak b 0 1 00 1 或 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 8 - ， T a AE cb 22 0 1 0 0 1 21 12 rkr rkr a bk 0 1 0 01 其中. c k ab 则为的分别对应特征值和的特征向量；, TT k 12 10 1 1 Aab 为的分别对应特征值和的特征向量., TT k 12 1 01 2 Aab 例 3.2.1 求的特征值与特征向量.A 16 52 解： T AE 2 1 5 1 0 620 1 12 21 rr rr 70 1 1 640 1 21 12 6 11 6 11 rr rr 70 1 1 65 04 1111 2 2 11 111 r r 70 1 1 0465 所以，特征值；特征向量分别为., 12 74, TT 12 116 5 例 3.2.2 求的特征值与特征向量.A 0111 1011 1101 1110 解： T AE 4 0111 1000 10110100 11010010 11100001 21 43 12 34 rr rr rr rr 11011000 01 021 100 01 110010 0201001 1 24 42 rr rr 11001000 03001 111 01100010 02010011 安徽工程大学毕业设计（论文） - 9 - 21 23 24 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 13 4001000 03001 111 03 4100010 03 2010011 12 32 42 1 4 1 4 1 2 rr rr rr 10003 41 41 41 4 03001111 00101 41 43 41 4 00011 21 21 21 2 . 10003111 01001131 00101111 00011111 所以，特征值分别为；特征向量分别为, 1234 13 ，., , , T 1 311 1, , T 2 1 131, , T 3 11 11, , , T 4 111 1 下面给出定理 1 的推广定理. 定理 2. 为任意阶方阵，若，An T n AE一系列行列互逆变换 T JP 其中为约当矩阵，为约 1 r J Jrn J , i i i Jir 1 1 1 当标准形. ，则为的特征 1 T r P P P ,; r ir in ir Pinrrrn 1 12 1 i A 值；为的对应特征值的特征向量. i T iir A i 证明：由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵，按定理 2 中化简A 方法，则有 ，即，其中， 1 TTT P APJ 1 , TT P APJAPPJ 1111 TT rr P , iT TT i T r i J JJir J 1 1 1 1 所以 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 10 - ， 1 11111111 T TTTT rrrr T r J A J 故有 ，1, iii Ain 所以为的特征值；为的对应的特征向量. i A i A i 例 3.2.3 求的特征值与特征向量.A 211 031 213 解： T AE 3 202100 131010 11 3001 13 31 rr rr 110101 130010 114001 21 12 rr rr 210101 0201 11 014001 rr rr 32 23 1 2 1 2 210101 020111 0041 21 2 1 2 3 3 2 1 2 r r 210101 020111 014111 所以特征值为，对应特征值的特征向量, 123 24 12 2 ，对应的特征向量为., , T 1 111 3 4, T 3 1 11 2.5 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 引理 矩阵左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变.即若为矩阵，AAm n 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵，则PQ、 . ,r PAr Ar AQr Ar PAQr A、 安徽工程大学毕业设计（论文） - 11 - 由此可知，若，且为 n 阶单位矩阵，则形如的矩 r ArnI A I mnn 阵必可经过一系列变换成的形式，其中为矩阵且， B CD 0 Bm r r Br 分别为和矩阵，为零矩阵，从而有CD、n rnnr0mnr 定理 1 设为矩阵，其秩，则比Am n r Arn 12 , T n xx xx 存在 n 阶可逆矩阵，使，且的个列向量就是齐次线性Q AB Q ICD 0 Dnr 方程组的基础解系.0Ax 证明： 此处只需证明的列向量是的基础解系即可.D0Ax 事实上，由得，即，从而 AB Q ICD 0 ,0 , AQB QC D ,A C DB0 ，.这说明的个列向量是齐次线性方程组ACBAD 0Dnr 12 , n r D DD 的解向量.Ax 0 另设矩阵的列向量为，则由知向量组 n r C 12 , r C CC,QC D 即为的列向量，因可逆，所以向量组 1212 , rn r C CC D DD QQ 线性无关，因此的列向量就是的基础解系. 12 , n r D DD DAx 0 例 3.3.1 组的一组基础解系. xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 123 230 320 2220 5520 解：利用初等列变换，得 cc cc cc A I 22 1 33 1 41 12311000 32113482 22212241 552055135 10001231 01000100 00100010 00010001 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 12 - cc cccc ccc 24 34245 73 42247 10001000 320032001 21002100 55755570 11101115 00010007 00100015 01420146 从而，所求基础解系为. r A 3, , T 57 5 6 定理 2. 设为阶方阵，则其特征矩阵可通过初等列变换化为下三AnIA 角矩阵，记为 ， 1 2 * * n l l L l 从而使的解就是矩阵的全部特征值. 12 0 n lllA 证明：由初等变换理论，存在 n 阶可逆矩阵，使 Q ，由此得. IA QL 12n IA QLlll 从而使的解就是的解. 12 0 n lll0IA 这样，由定理 1 和定理 2 可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解 法： 第一步，作如下初等变换： ，并由求得矩阵的特征值 n n IA I 初等列变换 L Q L 0A ., , i in1 2 第二步，将代入，则有或 i A 311 751 662 i i LB QCD 0 i i L Q . 互换某几列0B CD 因为，所以由定理 1 即知的列向量就是的对应 ii LIA QDA 安徽工程大学毕业设计（论文） - 13 - 于特征值的线性无关的特征向量. i 例 3.3.2 求矩阵的特征值与特征向量.A 311 751 662 解： cc IA I 13 311113 751157 662266 100001 010010 001100 , , n n i in F x xxim mn x in yfx xxfx xxim mn 2 2 1 121 01 101 所以，由得矩阵的特征值为. 2 4440A, 123 24 将代入，得 1 2 . L Q 1 1 100 160 060 001 011 110 所以对应于的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个 2, , T 1 11 0 线性无关的特征向量). 将代入，得 3 4 . cc L Q 233 3 100100 100100 60366360 001010 011011 116161 所以对应于的特征向量为. 4, , T 2 0 11 这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量，完全类似 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 14 - 地，利用初等行变换也可以实现这一过程，其方法如下： (1) 对矩阵施行初等行变换将其化为矩阵，其 T IAI UP 中为含有的上三角矩阵，为经过初等变换得到的矩阵； U PI (2) 由行列式求得矩阵的特征值； ( )U 0A, ,in1 2 (3) 将代入中，若不是行标准形， 则通, , i in1 2 UP i U 过初等行变换将其化为行标准型，并记秩， 则中的后 i r Ur i P 个行向量的转置就是对应的特征向量 nr i 例 3.3.3 征值与特征向量. 解：因为特征矩阵，所以IA 133 353 664 T IAI 136100 356010 334001 rr 13 334001 356010 136100 rr rr 21 311 3 2 334001 022011 5141 0210 33 32rr UP 2 334001 022011 282 0011 33 从而由即求得的特征值为（二重） 0U 2 2280A 2 和. 4 安徽工程大学毕业设计（论文） - 15 - 当时，所以， 2 UP 336001 000011 000110 r U 21 且的后两行的转置即为对应的特征向量，即2P 2 ., , , TT 12 0 1111 0 当时，所以，且 4 UP 330001 066011 000112 42r U 的最后一行的转置即为对应的特征向量，即. 4P 4 3 1,1,2 T 第第 3 3 章章 特征值与特征向量的基础应用特征值与特征向量的基础应用 3.1 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论. 设阶线性循环数列满足递推关系：K n x , , nnnkn k xa xa xa xnkk 1122 12 其中是常数，且，, , i aik1 2 k a 0 方程组 1122, 11 22 11 nnnkn k nn nn n kn k xa xa xa x xx xx xx 可表示为矩阵形式 nkk n n n n n k n k xaaaa x x x x x x 121 1 1 2 2 1 1000 0100 0010 （1） 令 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 16 - , n nkk n n n knn k n k n k x xaaaa x x xA x x 1121 1 2 12 1 1000 0010 则（1）可写成： （2） 1n kn k A 由（2）式递推得，其中，于 2 111 n k n kn k AA 1121 , T kk xxx x 是求通项就归结为求，也就是求. n x 1n k n k A 如果可对角化，即存在可逆矩阵，使得，则AP 1 P APA ，由于 1n kn k APAP 121 100 0100 001 kk aaaa EA 从第一列开始每一列乘以加到后一列上，就得到如下的矩阵： kkkk kkk aaaaaaaa 2121 1121111 1000 0100 0010 1 11 kk kk aaa 若是的特征值，显然有，则线性齐次方程组A1REAk 的基础解系中只含有一个解向量，因此当有个特征值0EA XAk 时，这个特征值对应的特征向量分别为，由这个特征 12 , k k 12 , k P PPk 向量为列构成的方阵记为，则是可逆的，并且.其中PP 1 P APA 1 2 00 00 00 n A 例 4.4.1 设数列满足递推关系：，并且 n x nnnn xxxxn 123 224 ，求通项.,xxx 123 123 n x 安徽工程大学毕业设计（论文） - 17 - 解：是三阶循环数列，将方程组 n x nnnn nn nn xxxx xx xx 123 11 22 22 用矩阵表示为：，令 nn nn nn xx xx xx 1 12 23 212 100 010 A 212 100 010 并由上式递推得 nnn n nnn nnn xxxx xA xAxAx xxxx 123 23 1232 2341 其中,xxx 123 123 由，即EA 0 32 212 10220 01 得的特征值为：A, 123 112 再由特征方程解得对应于的特征值的特征向, , iE A Xi01 2 3A 123 , 量分别为： ,PPP 123 114 112 111 令： PPPP 123 114 112 111 则 ,PAPP 11 336100 1 13201 0 6 202002 nnn nn n nnn nnn nnn nn APP 333 3 222 3111 313 22 3123 316212 100 1 01 03123 316212 6 002 3123 316212 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 18 - 代入（2）式得： nnn nn n xxxx 333 321 1 3123 316212 6 nn nn 33 11 13112 9 111212 6263 例 4.4.2 计算 n 阶行列式 n D 61160000 16116000 01611600 00000611 0000016 解：将按第一行展开得： n D nn DDMM 11213 6116 其中与分别是元素和的余子式，再将它们分别按第一列展开得： 12 M 13 M 12 a 13 a nnnn DDDD 123 6116 则是三阶线性循环数列. n D 将方程组 nnnn nn nn DDDD DD DD 123 11 22 6116 表示成矩阵形式为：令 nn nn nn DD DD DD 1 12 23 611 6 100 010 A 611 6 100 010 由上式递推得： 123 23 1232 2341 nnn n nnn nnn DDDD DA DADAD DDDD （3） 由解得的特征值为，再由特征方程0EAA, 123 123 ，解得对应于的特征值的特征向量分别为：0 iE A X, ,i 1 2 3A 123 , ,PPP 123 149 123 111 安徽工程大学毕业设计（论文） - 19 - 令 PPPP 123 149 123 111 则 ,PAPP 11 156100 1 286020 2 132003 n nnnnnn nnnnnnnn nnnnnnn APPPP 3 1211 3131121122 323233 1001001 235 236 6 22 3 1 0200201 235 236 6 22 3 2 0030031 235 236 6 22 3 由（3）式可得： nnnnnn n DDDD 1211 321 1 1 235 2366 22 3 2 将代入上式得：,DDD 321 90256 n n n D 2 2 13 2 22 3.2 矩阵特征值反问题方面的应用 矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵 中的元素.当矩阵有 n 个互不相等的特征值时，必有 n 个线性无关的特征向AA 量，那么矩阵必可对角化，故，其中相似变换矩阵由的 n 个线A 1 APAPPA 性无关的特征向量组成. 例 4.3.1.设 3 阶方阵的特征值为，对应于特征向量分A, 123 101 别是：，求 T x 1 1 22 T x 2 22 1 T x 3 21 2A 分析 此题给出了矩阵的 3 个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对 角化，显然是矩阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之. 解： 由于是方阵对应于特征值的特征向量，于, , i x i 1 2 3A, , i i1 2 3 是有：， ii Axx 令，那么Pxxx 123 122 221 212 P 1 122 1 221 9 212 王家琪: 矩阵的特征值与特征向量的理论与应用 - 20 - 则有，其中.由上式可得即为APPAA 1 0 1 APAP 1 1 02 1 012 3 220 所求. 3.3 特征值法求解二次型的条件最值问题 3.3.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题 定义 设有满足条件的 n 个变量, in F x xxim mn 12 01 ，当存在变量的一组值，使 12 , n x xx, i x in1 2 1, , n x xx （或）时，称 2 121 , n n f x xxf x xx 2 121 , n n f x xxf x xx 为最大（或最小）值. 2 1, , n fx xx 12 , n yf x xx 特征值法原理 定理 1 二次型在条件下的最 11 nn ijijijji ij a x