应用数理统计Cha1.ppt

浙江财经学院本科教学课程 应用数理统计应用数理统计 第二章 抽样分布及若干准备知识 2.1 引言 2.2 正态总体样本均值和样本方差的分布 2.3 次序统计量的分布 2.4 2.5 统计量的极限分布 2.7 充分统计量 1 极限分布 : 精确分布 : 在研究数理统计的问题时，往往需要知道所讨论 的统计量的分布. 从理论上而言,只要知道了总体X的分布,统计量的 分布即可求出,但实际操作起来并不容易. u 何谓抽样分布? 统计量的分布称为抽样分布. 2.1 引言 抽样分布 正态总体样本均值和样本方差的分 布， 样本容量足够大时,作为精确分布 的近似 2 2.2 正态总体均值和样本方差的分布 n n 性质：性质：样本均值与样本方差的无偏性 证明: (ii) 3 2.2.1 2.2.1 正态变量线性函数的分布正态变量线性函数的分布 定理定理 2.2.12.2.1 正态分布 4 推论推论 1 1 推论推论 2 2 5 定理定理 2.2.22.2.2 i.i.d. N(0,2)r.v.经过正交变换仍为i.i.d.N(0,2)r.v. 6 证明: 7 2.2.2 2.2.2 正态变量样本均值和样本方差的分布正态变量样本均值和样本方差的分布 设X1,X2,Xn是来自正态总体的样本, 分别为样本均值和样本方差, 则有 定理定理 2.2.32.2.3 8 证明: 9 10 注：注： 11 2.3 次序统计量的分布 2.3.1 2.3.1 单个次序统计量的分布单个次序统计量的分布 证明: 定理定理 12 uu uu 13 练习 设总体密度函数为 p(x)=3x2, 0x1. 从该总体抽得一个容量为5的样本， 试计算 P(x(2)1/2)。 14 大家很快会看到，有很多统计推断是基于 正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而 构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用 ，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而 且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们 被称为统计中的“ 三大抽样分布 ” 。 15 定义: 设 ，则随机变量 服从自由度为 n 的 分布，记为 2.4 三大抽样分布： 2.4.1 分布 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 定理定理 2.4.12.4.1 (证明略) 16 其中伽玛函数 为 uu n随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称. 17 当随机变量 2 2 2 2 ( (n n) ) 时，对给定 (01)，称满足 P( 2 2 2 2 ( (n n)=)=的 2 2 ( (n n) ) 是自由度为n的卡方分布的下 侧 分位数. 分位数 2 2 ( (n n) ) 可以从附表中查到。 18 uu 证明: 分布的可加性 证明: 19 20 定义: 设XN(0,1) , Y ，且 X与Y相互独立， 则称变量 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，记为 t tn. 2.4.2 t 分布 定理定理 2.4.22.4.2 Gosset1908年以笔名student提出 21 -3-2-1123 0.1 0.2 0.3 0.4 n = 1 n=20 厚尾分布 uu uu uu 22 分位数 设tt(n)，若对00， 满足 Ptt(n) = 则称 t(n)为 t(n) 的下侧 分位数. 23 uu 24 服从自由度为m 和 n 的F分布，记作 注: 2.4.3 F 分布 定义定义: : 定理定理 2.4.32.4.3 25 m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10 26 uu uu 上侧分位 数 3.9; 3.22 27 F 分布的分位数 对于 00 满足 PFF(m, n) = ， 则称 F(m, n)为 F(m, n)的下侧 分位数 28 即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. uu 29 2.4.4 几个重要结论 推论推论1 1 推论推论2 2 推论推论3 3 30 n 例 题例1 解 31 例2 解 32 33 u课堂练习 34 解1 35 解2 36 3. 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本, 求 统计量 所服从的分布. 解 37 从而 38 4 设总体 的样本, 为总体 X 试确定常数 c , 使 cY 服从分布. 解 故 因此 39 40 证明： 故 ，且 与 独立, 所以 41 6、设X1, X2, , X2n 是来自总体 N(, 2)的一个样